算法测验|须藤放置[1.8] |问题15

本文介绍了算法测验中的第15道题目——须藤放置（Sudo Place）。该算法题需要遵守数独游戏的规则，将数字1-9填入9x9的方格中，使得每行、每列以及每宫（3x3大小的方格内）都恰好包含1-9中的每个数字。

算法思路

须藤放置问题可以用回溯算法来解决，回溯算法也称为试错算法。其基本思路为：从问题的某一状态空间树根节点出发，依次尝试每一种可能的选择，直到找到问题的解，或者解不可能存在。

在本题中，我们可以从数独的第一个格子开始尝试填入数字1-9，不断迭代到下一个未填入数字的格子，直到所有格子都填充为止。在尝试填入数字时，需要满足以下三个条件：

1. 每列不能有重复数字；
2. 每行不能有重复数字；
3. 每个宫格内不能有重复数字。

若在尝试填入数字时发现某个数字与现有方格冲突，则需要回溯到上一个状态，重新进行选择。

具体算法流程如下：

1. 扫描整个数独，记录空格位置（即值为0的位置）；
2. 从第一个空格开始，将数字1-9依次尝试填入，检查是否符合上述三个条件；
3. 如果符合条件，则继续迭代下一个空格；如果不符合条件，则回溯到上一个状态，重新选择数字；
4. 当填充完最后一个空格时，即可得到数独的解。

复杂度分析

设数独的空格数为n，则回溯算法的时间复杂度为O(9^n)，即每个空格尝试九种可能性，所以总时间复杂度为指数级别。

代码实现

以下是本题的基本python代码实现：

def solve_sudoku(board, i=0, j=0) -> bool:
    '''
    用回溯算法解决数独问题
    board: 一个9x9的数独矩阵
    i, j: 当前处理的格子坐标
    '''
    # 如果当前处理的行超出数独矩阵范围，表示已经处理完毕，返回True
    if i == len(board):
        return True
    
    # 如果当前列超出数独矩阵范围，表示需要处理下一行
    if j == len(board[0]):
        return solve_sudoku(board, i+1, 0)
    
    # 如果当前位置已经有数字，则直接迭代下一个位置
    if board[i][j] != 0:
        return solve_sudoku(board, i, j+1)
    
    # 如果当前位置没有数字，则依次尝试填入1-9
    for k in range(1, 10):
        if is_valid(board, i, j, k):
            board[i][j] = k
            if solve_sudoku(board, i, j+1):
                return True
            board[i][j] = 0
    
    # 如果无法找到符合条件的数字，则回溯并尝试其他可能性
    return False


def is_valid(board, i, j, k):
    '''
    判断填入数字k是否符合数独的条件
    board: 一个9x9的数独矩阵
    i, j: 当前填充值的坐标
    k:     当前填充的值
    '''
    # 检查当前行和当前列是否有重复数字
    for x in range(9):
        if board[i][x] == k or board[x][j] == k:
            return False
    
    # 检查当前宫格内是否有重复数字
    r, c = i // 3 * 3, j // 3 * 3
    for x in range(r, r+3):
        for y in range(c, c+3):
            if board[x][y] == k:
                return False
    
    return True

以上就是本题的基本算法思路和代码实现。