RD Sharma解决方案–第15章与圆相关的区域–练习15.4 |套装3

本文介绍《RD Sharma解决方案–第15章与圆相关的区域–练习15.4 |套装3》中的解决方案。该章节主要涉及圆的相关概念和性质，以及如何计算圆的面积、周长等问题。练习15.4主要包括圆的弦、弧、切线等问题。

问题描述

练习15.4的问题主要集中在圆的弦、弧、切线等问题上。具体而言，包括：

1. 给定圆的半径，求弦的长度；
2. 给定弦的长度，求圆心角的度数；
3. 给定圆的半径和弧的长度，求弧所对的圆心角的度数；
4. 求切线与圆的交点的坐标；
5. 求两条割线所夹角的度数等。

解决方案

本文将为大家提供练习15.4中各个问题的解决方案。具体而言，将会给出每个问题的分析，以及Python代码实现。

解决方案1：给定圆的半径，求弦的长度

设圆的半径为r，弦的长度为l。如图所示，$AC=CB$为弦的长度，$OA=r$为圆的半径，$OM$为圆心到弦的垂线。

根据勾股定理可得：

$$OM^2+CM^2=OC^2=4r^2$$

又根据正弦定理可得：

$$sin\angle MOC=\frac{OM}{OC}=\frac{l}{2r}$$

因为 $sin\angle MOC=sin\angle MAB$，所以

$$sin\angle MAB=sin\angle MOC=\frac{l}{2r}$$

又因为 $AB=2AM$，所以

$$l=2r\cdot sin\angle MAB$$

下面是Python代码实现：

from math import sin

def chord_length(radius, angle):
    return 2*radius*sin(angle/2)

解决方案2：给定弦的长度，求圆心角的度数

设圆的半径为r，弦的长度为l，圆心角的度数为$\theta$，如图所示：

根据勾股定理可得：

$$OM^2+CM^2=OC^2=4r^2$$

又根据正弦定理可得：

$$sin\frac{\theta}{2}=\frac{OM}{OC}=\frac{l}{2r}$$

因为 $sin\frac{\theta}{2}$ 是单调递增的，所以

$$\frac{\theta}{2}=arcsin\frac{l}{2r}$$

所以 $\theta=2arcsin\frac{l}{2r}$。

下面是Python代码实现：

from math import asin, degrees

def central_angle(radius, length):
    angle = 2*asin(length/(2*radius))
    return degrees(angle)

解决方案3：给定圆的半径和弧的长度，求弧所对的圆心角的度数

设圆的半径为r，弧的长度为l，弧所对圆心角的度数为$\theta$，如图所示：

根据圆的性质可知：

$$\frac{\theta}{360^\circ}=\frac{l}{2\pi r}$$

所以 $\theta=360^\circ\cdot\frac{l}{2\pi r}$。

下面是Python代码实现：

from math import pi

def arc_angle(radius, length):
    angle = 360*length/(2*pi*radius)
    return angle

解决方案4：求切线与圆的交点的坐标

设圆的半径为r，圆心坐标为$(a,b)$，切点坐标为$(x,y)$，如图所示：

根据圆的方程可得：

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

又因为切线通过该点，所以在该点的导数为圆心到该点连线的斜率。故切线的斜率为：

$$y'=\frac{y-b}{x-a}$$

将该点的坐标代入切线方程，可得：

$$y-b=\frac{y-b}{x-a}(x-a)$$

化简后得到：

$$x-a=\pm\frac{r}{\sqrt{(y-b)^2+r^2}}(y-b)$$

所以切点的坐标为：

$$(x,y)=(a\pm\frac{r}{\sqrt{(y-b)^2+r^2}},b\pm\frac{r}{\sqrt{(y-b)^2+r^2}})$$

下面是Python代码实现：

from math import sqrt

def tangent_point(radius, x, y, a, b):
    k = (y-b)/(x-a)
    x1 = a + radius/sqrt(1+k**2)
    x2 = a - radius/sqrt(1+k**2)
    y1 = b + k*(x1-a)
    y2 = b + k*(x2-a)
    return [(x1,y1),(x2, y2)]

解决方案5：求两条割线所夹角的度数

设圆的半径为r，圆心坐标为$(a,b)$，第一条割线的斜率为$k_1$，第二条割线的斜率为$k_2$，如图所示：

设两条割线与圆的交点坐标分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。则可得到两条割线的直线方程：

$$y_1=a+k_1(x_1-a)$$

$$y_2=a+k_2(x_2-a)$$

所以两条割线的夹角为：

$$tan\theta=\frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}$$

下面是Python代码实现：

from math import atan, degrees

def secant_angle(radius, x1, y1, x2, y2, a, b):
    k1 = (y1-b)/(x1-a)
    k2 = (y2-b)/(x2-a)
    angle = degrees(atan(abs((k2-k1)/(1+k1*k2))))
    return angle

总结

本文为大家介绍了《RD Sharma解决方案–第15章与圆相关的区域–练习15.4 |套装3》中的解决方案。主要包括求弦的长度、圆心角的度数、弧所对的圆心角的度数、切线与圆的交点坐标、以及两条割线所夹角的度数等问题。