门| GATE CS 2020 |问题28

问题描述：

给定一个大小为n的整数序列，确定其中是否存在一个长度为k的严格递增的子序列。

示例输入：

n = 8
arr = [4, 6, 10, 5, 8, 11, 2, 20]
k = 4

示例输出：

True

题目链接

题目分析

这是一道典型的动态规划问题

对于给定的长度为n的序列，我们可以用一个数组dp来记录以每个位置结尾的长度为k的严格递增子序列的最大值。

那么如果存在一个长度为k的严格递增的子序列，那么dp数组中一定存在一个长度为k的数列。

我们只需要遍历序列中的每个元素，如果当前元素大于数组中前面的元素，那么可以和前面的元素构成一个长度为k的递增子序列，那么数组中当前位置更新为前一个位置的值加上当前元素即可，否则dp数组中当前位置的值为当前元素本身。

最后只需要找到dp数组中最大的长度为k的元素即可确认是否存在一个长度为k的严格递增的子序列。

详细实现

def is_strictly_increasing_subsequence(n, arr, k):
    # 初始化dp数组
    dp = [arr[0]] + [0] * (n - 1)

    # 遍历序列中的每个元素
    for i in range(1, n):
        # 计算以当前位置为结尾的长度为k的递增子序列的最大值
        for j in range(i-1, max(i-k-1, -1), -1):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + arr[i])
            else:
                dp[i] = max(dp[i], arr[i])
    
    # 检查dp数组中是否存在一个长度为k的数列
    for i in range(k-1, n):
        if dp[i] > dp[i-k]:
            return True

    return False

总结

动态规划是算法中的常见技巧，在做题时一定要熟悉其基本思想和实现方法。对于这道题，我们通过动态规划求解是否存在一个长度为k的递增子序列，时间复杂度为O(n * k)，空间复杂度为O(n)。