GATE CS模拟测试2018年 套装2 问题13

这是GATE计算机科学模拟测试2018年的问题13，它考查了程序员的算法知识和数据结构技能。

问题描述

给定一个由n个整数组成的序列a1、a2、....、an，找到连续的子序列，这个子序列的乘积是正数。请注意，空序列也是子序列。

编写一个函数find_positives，输入一个整数列表，返回一个长度为2的整数列表，其中第一个整数是子序列的起始索引（从左侧开始），第二个整数是子序列的结束索引（从右侧开始）。如果没有正数，则返回[-1]。

函数签名为：

def find_positives(arr: List[int]) -> List[int]:

示例

输入: [1,-2,-3,0,7,-8,-2]
输出: [4,5]

解法

考虑一个动态规划方程。我们可以用两个数组来找到子序列的最大乘积和最小乘积，通俗地说，这两个数组分别保持可能子序列的乘积的正负性。

# 动态规划
def find_positives(arr: List[int]) -> List[int]:
    n = len(arr)

    # 表示前i个元素，乘积为正数的最长子序列的起点和终点索引
    pos = [-1, -1]
    # 表示前i个元素，乘积为负数的最长子序列的起点和终点索引
    neg = [-1, -1]

    if arr[0] > 0:
        pos[0] = 0
    elif arr[0] < 0:
        neg[0] = 0

    for i in range(1, n):
        # 如果是正数，最大乘积就是之前最大的乘积乘上这次的数
        if arr[i] > 0:
            if pos[0] == -1:
                # 如果前面没有正数，从这里开始新的负数链
                pos[0] = i
            else:
                pos[1] = i
            if neg[0] != -1:
                neg[1] = i
        # 如果是负数，根据状态转移方程来求出最大乘积
        elif arr[i] < 0:
            if neg[0] == -1:
                # 如果前面没有负数，从这里开始新的负数链
                neg[0] = i
            else:
                neg[1] = i
            if pos[0] != -1:
                pos[1] = i
        # 如果是0，既不属于正数也不属于负数
        else:
            pos = [-1, -1]
            neg = [-1, -1]

    if pos[1] != -1:
        return [pos[0], pos[1]]
    else:
        return neg

这个算法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

总结

这个问题考察了动态规划和算法的设计技巧。在这个问题中，我们需要找到乘积为正数的最长的子序列。为了做到这一点，我们用两个数组来保存可能的子序列的乘积正负性。

关于动态规划的更多知识，请前往动态规划。