门| GATE CS Mock 2018 |设置 2 |问题 13

本篇文章主要介绍 GATE CS Mock 2018 设置 2 问题 13，该问题考察了编程的能力和对动态编程的了解。以下是该问题的解题过程及相关内容。

题目要求

题目给出了一个长度为 $n$ 的数组 $A$，数组的值域为整数。现在要将数组 $A$ 分成 $k$ 个区间（$k \leq n$），每个区间的元素之和是上下界之间的数（设为 $B$）。请你编写一个动态规划的程序，判断能否将数组 $A$ 分成 $k$ 个区间，使得每个区间的元素和都为 $B$。

解题思路

本题可以使用动态规划的方法解决。首先需要明确的是，该问题的解决方法是基于将数组划分为 $k$ 个区间。因此，我们可以考虑定义一个二维数组 $DP$，其中 $DP[i][j]$ 表示将前 $i$ 个元素划分为 $j$ 个区间的结果，其中区间的元素和是 $B$。

对于 $DP[i][j]$，有两种情况：

• 该元素不在区间中，即该区间已经划分完成，可以继续向前考虑。此时 $DP[i][j]=DP[i-1][j]$。
• 该元素在当前区间中，那么当前区间中必须包含该元素。因此，我们需要寻找前 $i-1$ 个元素中是否有一个区间的元素和为 $B-A[i]$。若存在这样的区间，那么 $DP[i][j]=DP[t][j-1]$，其中 $t$ 表示该区间的右端点，即 $t<i$ 且从 $t+1$ 到 $i$ 的元素和为 $B-A[i]$。若不存在这样的区间，那么 $DP[i][j]=0$。

最终的答案是 $DP[n][k]$。具体实现见下文。

代码实现

下面给出该问题的代码实现（使用 Python 语言）。

def partitionIntoKSubsets(A, k, B):
    n = len(A)

    # 初始化二维数组 DP
    DP = [[0 for i in range(k+1)] for j in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        DP[i][1] = DP[i-1][1] + A[i-1]

    # 动态规划
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(2, k+1):
            for t in range(i-1, 0, -1):
                if DP[i-1][j] == DP[t][j-1] + sum(A[t:i]):
                    DP[i][j] = DP[i-1][j]
                    break
                if DP[i-1][j] < DP[t][j-1] + sum(A[t:i]):
                    DP[i][j] = DP[t][j-1] + sum(A[t:i])
                    break

    # 返回最终结果
    return DP[n][k] == B*k

该函数的参数分别为数组 $A$，整数 $k$ 和 $B$。

该函数首先根据数组 $A$ 的长度和 $k$ 的值初始化二维数组 $DP$。接下来使用三重循环动态规划，最终返回 $DP[n][k]=B \times k$ 是否成立。函数的时间复杂度为 $O(n^3)$。