门 | GATE CS 2018 |问题 13

该问题涉及到数学模型和算法。门问题需要将输入的布尔表达式最小化为逻辑门电路的形式。该问题需要用到卡诺图（Karnaugh Map）和奎因-麦克拉斯基（Quine-McCluskey）算法的概念。

布尔代数

• 布尔代数是一种数学逻辑形式
• 它使用运算符 AND（∧）、OR（∨） 和 NOT（¬）进行逻辑运算。
• 在此代数中，所有变量均为布尔值（true 或 false）。

卡诺图 (Karnaugh Map)

• 卡诺图是一个简单、可行并且本质上是一个二进制逻辑函数的面向图形的方法。
• 它可以用于最小化布尔表达式，从而利用最少数量的逻辑门实现逻辑功能。
• 卡诺图的结构是一个二维的矩阵或一个表，用于表示布尔函数从而实现最小化布尔表达式。

奎因-麦克拉斯基 (Quine-McCluskey)算法

• 奎因-麦克拉斯基算法是一种用于化简布尔函数的算法
• 它是从布尔函数的真值表中出发，通过构建主积项，通过迭代比较大小最终实现最小化布尔表达式的算法。

代码示例

# 函数 to_expression(pis, var_names)
# 创建可以输出具有变量名称和方便查看的简化布尔表达式的实用程序

from itertools import compress


def to_expression(pis, var_names):
    expressions = []
    for pi in pis:
        zipped = list(zip(var_names, pi))
        var_positives = list(compress(zipped, map(lambda x: x[1] == 1, zipped)))
        var_negatives = list(compress(zipped, map(lambda x: x[1] == 0, zipped)))
        positive_expr = ' ∧ '.join(map(lambda x: x[0], var_positives))
        negative_expr = ' ∧ '.join(map(lambda x: '¬' + x[0], var_negatives))
        var_expr = positive_expr
        if negative_expr:
            if positive_expr:
                var_expr += ' ∧ '
            var_expr += negative_expr
        expressions.append(var_expr)
    return ' ∨ '.join(expressions)

总结

门问题需要将输入的布尔表达式最小化为逻辑门电路的形式。布尔代数、卡诺图和奎因-麦克拉斯基算法是解决这个问题的关键。利用这些技术，你可以准确地找到一个具有最少逻辑门数量的逻辑门电路。