导言

本文介绍了“门(GATE) - 计算机科学 - 2017年第2套问题集(Set 2) - 第55章”的内容。这个章节主要探讨了以下几个主题：

• 图形理论与应用
• 数据结构和算法

稍后会详细介绍这些主题。

图形理论与应用

图的定义

图是由一组顶点和一组边组成的数学结构。顶点代表着一个事物，而边则表示事物之间的关系。图在计算机科学中经常用于表示网络、社交网络、路径规划等应用。

在计算机科学中，有两种主要的图：有向图和无向图。有向图中每条边都是有方向的，而无向图中则没有方向。为了简单起见，我们将只介绍无向图。

图的实现

图可以使用邻接矩阵或邻接表来实现。

• 邻接矩阵: 邻接矩阵是一个二维数组，其中矩阵的每个元素代表图中一条边。如果两个节点之间有一条边，则矩阵中对应的元素为1，否则为0。
• 邻接表: 邻接表是图的一种链式存储结构。每个节点都有一个指向它周围节点的指针。

在计算机科学中，通常使用邻接矩阵来表示稠密的图，使用邻接表来表示稀疏的图。

图遍历

图遍历是一种通过访问每个图中节点的算法。常用的两种算法是深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

• DFS: DFS递归地访问图的节点，首先访问源节点，然后递归访问源节点相邻的节点，直到遍历所有可达节点并回溯到源节点。
• BFS: BFS采用队列进行节点的遍历。从源节点开始，将节点的未访问相邻节点加入队列中，然后通过出队操作访问这些相邻节点，并将它们的相邻节点入队，直到队列为空为止。

最小生成树

在图遍历中，最小生成树是一种特殊的搜索算法，通常通过Kruskal或Prim算法来实现。最小生成树是一个包含图中所有节点的子树，并且它的所有边的权重之和最小。

• Kruskal算法: Kruskal算法使用贪心策略来实现最小生成树。Kruskal算法的基本思想是，首先将所有边按照权重排序，然后遍历它们并尝试将它们添加到生成树中去。如果这条边连接了两个未连通的子树，则它被接受；否则则被拒绝。
• Prim算法: Prim算法同样使用贪心策略来实现最小生成树。Prim算法的基本思想是，从一个源节点开始，每次选择连通这个源节点到生成树上的一个未加入的节点的最小代价的边。

数据结构和算法

分治法

分治法是一种将问题分解成子问题，然后将这些子问题独立求解的算法。它通常用于解决大规模问题。分治算法通常有三个步骤：

• 分解(Divide): 将原问题分解成若干个子问题
• 解决(Solve): 递归地解决这些子问题，如果问题足够小，则直接求解。
• 合并(Combine): 将子问题的解重新组合出原问题的解。

分治算法在计算机科学中被广泛使用，例如在排序、路径查找等问题中。

快速排序

快速排序是一种基于分治法的排序算法。快速排序的基本思想是，选择一个中心元素，将小于等于中心元素的所有元素放在左侧，大于中心元素的所有元素放在右侧，然后继续递归处理左右两个子序列，直到所有元素都被排序。

快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。

哈希表

哈希表是一种基于哈希函数的数据结构。哈希表将一个关键字映射到一个数据集中存储的地址上。哈希表通常是一个数组，其中每个元素都是一个链表，用于解决哈希冲突。

哈希表常用于实现常数时间的插入、删除和查找操作。

总结

在这篇文章中，我们介绍了图形理论和算法的基础知识，并讨论了数据结构和算法中的一些主题。对于程序员来说，了解这些知识是建立有效软件解决方案的关键。