NCERT解决方案-数学第I部分-第1章关系和功能-练习1.2

本文介绍了NCERT解决方案-数学第I部分-第1章关系和功能-练习1.2的相关内容，其中包括了问题列表、问题解决方法和示例点评。本文主要面向程序员，并提供了代码片段。

问题列表

在练习1.2中，我们需要解决以下问题：

1. 对给定的关系，求它是否满足反对称性。
2. 对给定的函数，求其是否为双射。
3. 对给定的关系，求它是否满足自反性。
4. 对给定的函数，求它是否为一个变量的函数。
5. 对给定的关系，求它是否满足对称性。

问题解决方法

对于每个问题，以下是解决方法：

1. 如果 $\forall\ a,\ b\in A$，满足 $(a,b)\in R$ 且 $(b,a)\in R$，那么该关系R就不满足反对称性。否则，它满足反对称性。
2. 如果函数的定义域和值域是相等的并且是双射的，则它是一个双射。
3. 如果 $\forall\ a\in A$，满足 $(a,a)\in R$，那么该关系R就满足自反性。否则，它不满足自反性。
4. 如果函数的输出只依赖于输入变量，则该函数是一个变量的函数。
5. 如果 $\forall\ a,\ b\in A$，满足 $(a,b)\in R$，那么也必须满足 $(b,a)\in R$，这意味着关系R满足对称性。

示例点评

以下是一些示例的点评：

示例1

给定一个关系 $R={(1,2),(2,1),(2,3)}$。该关系是否满足反对称性？

解答：该关系不满足反对称性，因为 $(1,2)$ 与 $(2,1)$ 都在关系中，但是 $1\neq 2$。因此这个关系不满足反对称性。

代码片段：

def is_anti_symmetric(R):
    for (a,b) in R:
        if (b,a) in R and a != b:
            return False
    return True

R = {(1,2), (2,1), (2,3)}
if is_anti_symmetric(R):
    print("R is anti-symmetric")
else:
    print("R is not anti-symmetric")

示例2

给定一个函数 $f(x)=-\frac{1}{x}$。它是否是一个双射？

解答：该函数是一个双射，因为它定义域为 ${x|x\neq 0}$，值域为 $\mathbb{R}\backslash{0}$。同时，该函数是单射和满射的。

代码片段：

def is_bijective(f, domain):
    # check for injectivity
    values = set()
    for x in domain:
        values.add(f(x))
    if len(values) != len(domain):
        return False

    # check for surjectivity
    for y in values:
        if f(domain[0]) != y:
            return False
    return True

def f(x):
    return -1/x

if is_bijective(f, [-10,-1,-0.5,0.5,1,10]):
    print("f is bijective")
else:
    print("f is not bijective")

示例3

给定一个关系 $R={(1,2),(2,2)}$。它是否满足自反性？

解答：该关系不满足自反性，因为 $(1,1)$ 不在关系中。因此这个关系不满足自反性。

代码片段：

def is_reflexive(R, domain):
    for a in domain:
        if (a,a) not in R:
            return False
    return True

R = {(1,2), (2,2)}
if is_reflexive(R, [1,2]):
    print("R is reflexive")
else:
    print("R is not reflexive")

示例4

给定一个函数 $f(x,y)=x+y^2$。它是否是一个关于 $x$ 的函数？

解答：该函数是一个关于 $x$ 的函数，因为其输出仅依赖于输入变量 $x$。

代码片段：

def is_x_function(f):
    args = [(1,2), (2,3), (3,4)]
    for (x,y) in args:
        for (x1,y1) in args:
            if x == x1 and f(x,y) != f(x1,y1):
                return False
    return True

def f(x, y):
    return x + y**2

if is_x_function(f):
    print("f is an x-function")
else:
    print("f is not an x-function")

示例5

给定一个关系 $R={(1,2),(2,1)}$。它是否满足对称性？

解答：该关系不满足对称性，因为 $(2,1)$ 在关系中，但是 $(1,2)$ 不在关系中。因此这个关系不满足对称性。

代码片段：

def is_symmetric(R):
    for (a,b) in R:
        if (b,a) not in R:
            return False
    return True

R = {(1,2), (2,1)}
if is_symmetric(R):
    print("R is symmetric")
else:
    print("R is not symmetric")

结论

上述就是NCERT解决方案-数学第I部分-第1章关系和功能-练习1.2问题的解决方法。希望这篇文章能对程序员有所帮助。