NCERT解决方案-数学第I部分-第1章关系和功能-练习1.3

本篇介绍了NCERT（印度政府教育机构）出版的数学教材《Mathematics Class 1》第1章关系和功能中练习1.3的解答。该练习的主要内容是通过对给定函数的逐个操作，来理解函数的性质以及函数之间的关系。本文将为读者提供该练习的详细解答。

开始解答

解答1

不妨设 $f(x) = x-3$，那么我们有：

$$f(x+2)=(x+2)-3=x-1$$

$$f(x)+f(3-x)=(x-3)+(3-x)=0$$

$$f(x)f(3-x)=(x-3)(3-x)=-x^2+3x+9$$

$$f(f(x))=f(x-3)=(x-3)-3=x-6$$

解答2

给定函数为 $g(x)=x^2$。我们有：

$$g(-x)=(-x)^2=x^2=g(x)$$

故 $g(x)$ 对于 $x=0$ 是偶函数。

对于 $x\neq0$，我们有：

$$g\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}\right)^2=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}=g(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)$$

故 $g(x)$ 是一个偶次函数。

解答3

给定函数为 $f(x) = x+1$。那么我们有：

$$f(x-a)=x-a+1=(x+1)-a=f(x)-a$$

$$f(x)f(a-x)=(x+1)(a-x+1)=(a+1)x-ax-a+1$$

$$f(f(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2$$

解答4

给定函数为 $f(x) = x^3$。我们有：

$$f(x-a)=(x-a)^3=x^3-3x^2a+3xa^2-a^3=f(x)-3x^2a+3xa^2-a^3$$

$$f(x)f(a+x)=x^3(a+x)^3=x^3(a^3+3a^2x+3ax^2+x^3)$$

$$f(f(x))=f(x^3)=(x^3)^3=x^9$$

解答5

给定函数为 $f(x) = 2x+1$。那么我们有：

$$f(x+a)=2(x+a)+1=2x+2a+1=(2x+1)+2a=f(x)+2a$$

$$f(x)f(2a-x)=(2x+1)(2a-x+1)=2ax-x^2+2x+2a-x+1=2ax+(2a-x+1)^2-a^2$$

$$f(f(x))=f(2x+1)=2(2x+1)+1=4x+3$$

解答6

给定函数为 $y=2x-1$。那么我们有：

$$x=\frac{y+1}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y=2x-1$$

$$x-a=\frac{y+1}{2}-a\qquad\qquad y-a=2(x-a)-1$$

$$x+a=\frac{y+1}{2}+a\qquad\qquad y+a=2(x+a)-1$$

由此，我们有：

$$y-a=2(x-a)-1\Rightarrow y=2x-2a+1=f(x)-2a+1$$

也即：

$$f(x-a)=f(x)-2a+1$$

$$f(x+a)=f(x)+2a+1$$

$$f(a-x)=2(a-x)-1=2a-2x-1=f(x)-2x+1$$

$$f(f(x))=2(2x-1)+1=4x-1$$

解答7

给定函数为 $f(x)=(x-1)(x+2)$。那么我们有：

$$f(x+a)=((x+a)-1)((x+a)+2)=(x^2+2ax+a^2-1)(x+2a+2)=f(x)+2a(x+1)+a^2$$

$$f(x-a)=((x-a)-1)((x-a)+2)=(x^2-2ax+a^2-1)(x-2a+2)=f(x)-2a(x-1)+a^2$$

$$f(f(x))=((x-1)(x+2)-1)((x-1)(x+2)+2)=x^4+3x^3-4x-3$$

解答8

给定函数为 $f(x)=x^2+1$。那么我们有：

$$f(x+a)=(x+a)^2+1=x^2+2ax+a^2+1=f(x)+2ax+a^2$$

$$f(x-a)=(x-a)^2+1=x^2-2ax+a^2+1=f(x)-2ax+a^2$$

$$f(f(x))=(x^2+1)^2+1=x^4+2x^2+2$$

解答9

给定函数为 $f(x)=\frac{1}{x-1}$。那么我们有：

$$f(x+a)=\frac{1}{x+a-1}=\frac{1}{x-1+a}=f(x)+\frac{a}{(x-1)(x+a-1)}$$

$$f(x-a)=\frac{1}{x-a-1}=\frac{1}{x-1-(a+1)}=\frac{1}{x-1}\cdot\frac{1}{1-\frac{a+1}{x-1}}=f(x)-\frac{a+1}{(x-1)(x-a-1)}$$

$$f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x-1}-1}=\frac{x-1}{x-2}$$

解答10

给定函数为 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$。那么我们有：

$$f(x+a)=\sqrt{1-(x+a)^2}$$

$$= \sqrt{1-(x^2+2ax+a^2)}$$

$$= \sqrt{(1-x^2)-2ax-a^2}$$

$$= \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-\frac{2ax+a^2}{1-x^2}}$$

$$= f(x)\cdot\sqrt{1-\frac{2ax+a^2}{1-x^2}}$$

$$f(f(x))=\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}=\sqrt{x^2} = |x|$$

总结

本篇文章介绍了《Mathematics Class 1》第1章关系和功能中练习1.3的解答。读者通过阅读本文，可以更好的理解函数与函数之间的关系，同时也可以更好的理解函数的性质。