GATE CS Mock 2018年 - 问题30

这个问题涉及到时间复杂度和动态规划。问题描述为：“给定一个非负整数值数组和两个整数值L和R。你需要找到一个连续的子数组，该子数组中的元素总和在L到R之间。输出这样的子数组的总数。”

这个问题可以使用动态规划来解决。定义一个数组dp，其中dp[i]表示以i结尾的子数组中满足条件的个数。对于dp[i]，我们可以将它分为两个子问题：

1. 将当前元素算入子数组中，即结尾为i的子数组中包含nums[i]
2. 不将当前元素算入子数组中，即结尾为i的子数组中不包含nums[i]

对于第一个子问题，我们需要找到以i-1结尾的子数组中满足条件的个数。可以使用前缀和来查找，即遍历数组，同时维护一个前缀和数组sum，其中sum[i]表示从索引0到索引i的元素总和。然后，我们可以找到范围在[L-nums[i], R-nums[i]]之间的子数组数量。这可以通过二分搜索来实现。具体来说，我们可以在前缀和数组sum中查找大于等于L-nums[i]的最小值的索引lo，和大于等于R-nums[i]的最小值的索引hi。然后，我们可以用hi-lo来计算子数组的数量。这个子问题的时间复杂度为O(log n)。

对于第二个子问题，我们只需要找到以i-1结尾的子数组中满足条件的个数。这可以直接从dp[i-1]中获取，时间复杂度为O(1)。

最后，我们将这两个子问题的结果相加，即dp[i] = dp[i-1] + (hi-lo)。最终的答案是所有dp[i]的总和。

这个算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是数组的长度。这是因为我们需要遍历一次数组，同时在每个索引上进行一次二分搜索。空间复杂度为O(n)，因为我们需要一个大小为n的dp数组。

以下是实现这个算法的Python代码片段：

def find_subarray(nums, L, R):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    count = 0
    for i in range(n):
        lo, hi = bisect_left(prefix_sum, L-nums[i]), bisect_right(prefix_sum, R-nums[i])
        count += hi - lo
        dp[i] = count
    return sum(dp)

在这个代码段中，我们使用了Python的bisect模块来实现二分搜索，因为它比手动实现更快，并且更易于理解。你可以自己尝试实现二分搜索来充分了解它的工作方式。