线性有界自动机（Linear Bounded Automaton, LBA）

线性有界自动机是图灵机的一种扩展，它在读/写磁带时的移动受到限制，即只能在磁带上读/写有限的部分。这一限制使得线性有界自动机的计算能力受到一定的限制，但仍然具有比确定性有限状态自动机更强的计算能力。

LBA的定义

线性有界自动机可以被形式化地定义为$M=(Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, q_{\text{accept}}, q_{\text{reject}})$，其中：

• $Q$ 是状态集合
• $\Sigma$ 是输入字母表
• $\Gamma$ 是带子字母表
• $\delta:Q\times \Gamma\rightarrow Q\times \Gamma\times{\text{L},\text{R}}$ 是状态转移函数，其中$\text{L}$和$\text{R}$分别表示向左和向右移动
• $q_0\in Q$ 是起始状态
• $q_{\text{accept}},q_{\text{reject}}\in Q$ 分别表示接受状态和拒绝状态

与图灵机不同的是，线性有界自动机的带子是有界的，即只能占据有限的空间。在计算过程中，如果机器试图向带子的边界外移动，则输入被当作空白符处理，即不做任何改变。

LBA的处理过程

与图灵机一样，LBA也开始于一个起始状态$q_0$，带子上初始状态为输入串和一些空白符。然后，LBA将根据转移函数$\delta$的指示在带子上移动，改变状态和带子内容，直到进入接受状态或拒绝状态。

由于带子是有限的，LBA的处理过程也是有限的。如果在转移过程中带子没有越界，并且不重复访问任何状态，则LBA将停止。否则，LBA将进入一个循环，并继续在同一状态下处理相同的带子内容，直到它达到停机条件（接受或拒绝状态）。

LBA的计算能力

LBA的计算能力介于确定性有限状态自动机和图灵机之间。由于带子是有限的，LBA不能解决所有计算问题。但它仍然可以解决某些关于字符串的问题，如语言$L={a^n b^n | n \geq 1}$，即由$n$个$a$和$n$个$b$构成的字符串。

实现LBA

实现LBA的最简单方法是使用C++，利用指针和结构体定义状态和转移函数。下面是LBA的一个简单实现的代码片段：

struct LBAState {
    char symbol;      // 当前状态的符号
    LBAState* prev;   // 前一个状态
    LBAState* next;   // 下一个状态
    char content[256];   // 带子内容
};

LBAState* transitionFunction(LBAState* currentState) {
    int currentPos = /* 计算当前位置 */;
    char currentSymbol = currentState->content[currentPos];
    LBAState* nextState = new LBAState();
    nextState->prev = currentState;
    nextState->symbol = /* 指定下一个状态 */;
    /* 更新带子状态 */;
    nextState->next = transitionFunction(nextState);   // 递归调用
    return nextState;
}

int main() {
    LBAState* startState = new LBAState();
    /* 指定起始状态和带子的初始状态 */;
    LBAState* result = transitionFunction(startState);
    /* 根据结果的状态进行处理 */;
    return 0;
}

总结

线性有界自动机是一种介于确定性有限状态自动机和图灵机之间的计算模型。由于带子是有限的，LBA的计算能力受到一定的限制，但仍然可以解决某些关于字符串的问题。实现LBA的方法可以使用C++，利用指针和结构体定义状态和转移函数。