构建图灵机i*j=k，解释L = {aibjck}

L = {aibjck | ij = k; i, j, k ≥ 1} 表示的是所有 aibjck 的字符串，其中 ij=k，也就是从 a 中取出 i 个字符，从 b 中取出 j 个字符，将它们相乘得到的结果为 k。

要注意的是，字符串中 a、b、c 的出现顺序并不重要，只需要满足 i*j=k 即可。

我们可以通过构建图灵机来解决这个问题。

图灵机

图灵机是一种理论机器，它能够计算所有的计算机可计算的问题。它由一个有限状态集合、一个有限输入字母表、一个有限输出字母表、一个初始状态和一个状态转移函数组成。

在本问题中，我们可以构建一个图灵机来判断一个字符串是否属于 L。

状态转移函数

我们可以使用 4 个状态来描述图灵机的运行过程：初始状态 q0、计数状态 q1、判断状态 q2 和接受状态 q3。

状态转移函数如下：

• q0：从状态 q0 开始，如果读到字符 a，则将其忽略，转移到状态 q1。
• q1：从状态 q1 开始，如果读到字符 b，则将其忽略，转移到状态 q2。
• q2：从状态 q2 开始，如果读到字符 c，判断 i*j 是否等于 k，如果是则接受，转移到状态 q3，否则拒绝。
• q3：接受状态，停机。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的图灵机：

states = {'q0', 'q1', 'q2', 'q3'}
input_alphabet = {'a', 'b', 'c'}
tape_alphabet = {'a', 'b', 'c', '#'}
transitions = {
    ('q0', 'a'): ('q1', '#', 'R'),
    ('q1', 'b'): ('q2', '#', 'R'),
    ('q2', 'c'): ('q3', '#', 'R'),
}
initial_state = 'q0'
blank_symbol = '#'
final_states = {'q3'}

def run_tm(input_str):
    tape = list(input_str)
    current_state = initial_state
    head_pos = 0
    
    while True:
        if current_state in final_states:
            return True
        
        if head_pos < 0:
            tape.insert(0, blank_symbol)
            head_pos = 0
        elif head_pos >= len(tape):
            tape.append(blank_symbol)
        
        current_symbol = tape[head_pos]
        if (current_state, current_symbol) in transitions:
            new_state, new_symbol, move_direction = transitions[(current_state, current_symbol)]
            tape[head_pos] = new_symbol
            current_state = new_state
            
            if move_direction == 'R':
                head_pos += 1
            elif move_direction == 'L':
                head_pos -= 1
            else:
                raise Exception('Invalid move direction')
        else:
            return False

测试

我们可以使用下面的测试用例来测试图灵机：

test_cases = [
    ('aabbcc', True),
    ('aabbc', False),
    ('aabbbccc', True),
    ('abbc', False),
    ('abbcccc', True),
]

for test_case in test_cases:
    input_str, expected_output = test_case
    assert run_tm(input_str) == expected_output

总结

本文介绍了如何使用图灵机来解决 L = {aibjck | i*j = k; i, j, k ≥ 1} 这个问题，并给出了 Python 语言的实现和测试用例。