门 | GATE-CS-2014-(Set-2) | 问题14

这是一道考察基本算法思路和实现的问题。题目给定了两个排过序的数组，要求找出这两个数组的中位数。因为这两个数组都已经排好序，因此可以通过类似归并排序的方式来合并它们，找到中位数。

算法思路

中位数是指一个数组中处于中间位置的元素，或是两个数组合并后位于中间位置的元素。因此可以将这个问题转化为寻找两个数组中第 $k$ 小的元素。

1. 首先将两个数组分别切分成两部分：前半部分和后半部分。

2. 假设第一个数组前半部分有左边的 $l_1$ 个元素，第二个数组前半部分有左边的 $l_2$ 个元素。那么两个数组的前半部分共有 $l_1+l_2$ 个元素。

3. 如果中位数位于前半部分，那么它必定不会在两个数组的后半部分中出现。因此可以将两个数组的后半部分舍去，继续在前半部分中寻找中位数。

4. 如果中位数位于后半部分，同样也可以将两个数组的前半部分舍去，继续在后半部分中寻找中位数。

5. 如果中位数恰好是前半部分的最后一个元素或后半部分的第一个元素，那么它必定是两个数组的中位数。

6. 如果前半部分的最后一个元素小于后半部分的第一个元素，那么中位数位于两个数组的后半部分。反之，中位数位于两个数组的前半部分。

重复以上步骤，直到找到中位数为止。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    if m > n:
        nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m

    i_min, i_max, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
    while i_min <= i_max:
        i = (i_min + i_max) // 2
        j = half_len - i
        if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
            i_min = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
            i_max = i - 1
        else:
            if i == 0:
                max_of_left = nums2[j-1]
            elif j == 0:
                max_of_left = nums1[i-1]
            else:
                max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])

            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_of_left

            if i == m:
                min_of_right = nums2[j]
            elif j == n:
                min_of_right = nums1[i]
            else:
                min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

            return (max_of_left + min_of_right) / 2

这个算法的时间复杂度为 $O(\log(min(m,n)))$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是两个数组的长度。它也可以通过 LeetCode 第4题的测试。