门| GATE-CS-2009 |问题28

该问题来自于2009年的GATE计算机科学考试，下面我们将讨论该问题的解决方案。

问题描述

有$n$个门，每个门可以是开门或是关门两种状态之一。现有一个初始状态为全开的$n$个门的系统，现在需要按照一定的规则对门的状态进行修改，具体规则如下：

1. 对于状态为$k$的门，将编号是$k$的倍数的门状态取反。
2. 重复步骤1，直到所有的门都为关闭状态或者操作次数超过了$n$次为止。

现在给定$n$，求出按照上述规则可以将所有门关闭的最少操作次数。

解决方案

对于该问题，我们可以通过模拟以上规则的过程来解决。

具体而言，我们可以使用一个数组来存储门的状态，设数组为$doors$，且$doors[i]$表示第$i$个门的状态，初始状态下$doors$的所有元素都为$1$。

考虑模拟第一步，我们需要找出所有状态为$k$的门，其中$k$是$i$的倍数。具体而言，我们可以使用一个循环来遍历所有的$k$，具体实现如下：

for k in range(i, n+1, i):
    doors[k] = 1 - doors[k]

其中，range(i, n+1, i)表示从$i$开始，每次加上$i$，直到大于$n$。

接下来，我们需要判断是否所有的门都已经关闭。如果是，直接返回当前操作次数；否则，重复上述步骤，直到超过$n$次操作次数，这时我们可以返回$-1$表示无法关闭所有的门。

对于具体的实现，可以参考以下Python代码实现：

def min_steps_to_close_doors(n):
    doors = [1] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        for k in range(i, n+1, i):
            doors[k] = 1 - doors[k]
        if all(doors[1:]) and i != n:
            return i
    return -1

测试样例

我们可以通过以下测试样例来验证该实现的正确性：

assert min_steps_to_close_doors(10) == 2
assert min_steps_to_close_doors(5) == 4
assert min_steps_to_close_doors(3) == 2