门 | GATE CS 1999 | 问题29

这是 GATE CS 1999 的问题29，是一道经典的计算机科学问题，涉及到图论和数据结构方面的知识。

问题描述

给定一个有向图，其中每个节点都是门，你需要判断是否存在一条从门 s 到门 t 的路径，其中路径上的所有门都是可以通过电路开关开启的。

具体而言，每个门会有一个关联的布尔变量 $C_i$，表示该门的电路开关状态。这些变量初始时都为 false，如果 $C_i$ 为 true，则表示该门当前处于开启状态。对于每个节点 $i$，将 $C_i$ 设置为 true 可以开启它所关联的所有门。一旦一个门被开启，它将会一直保持开启状态。

你需要编写一个程序来解决这个问题。程序需要接受以下输入：

• 一个整数 n，表示图中节点的个数。
• 一个 n×n 的矩阵 A，其中 $A_{i,j}$ 表示有没有一条从节点 i 到节点 j 的有向边。如果有，则 $A_{i,j}=1$，否则 $A_{i,j}=0$。
• 一个 n 位的布尔向量 D，其中 $D_i$ 表示节点 i 的门是否能够被直接开启（即不需要其他门的开启）。

程序需要返回以下输出：

• 如果存在一条从门 s 到门 t 的路径，其中路径上的所有门都可以被开启，则返回字符串 "Yes"，否则返回字符串 "No"。

解题思路

这是一道图论问题，需要遍历图中的所有节点，判断是否存在一条从 s 到 t 的路径，路径上的所有门都可以被开启。

为了判断求解的过程中哪些门被开启了，可以先将所有 D[i]=true 的节点加入一个队列中，作为初始状态。然后使用广度优先搜索（BFS）算法遍历图中的所有节点，在遍历的过程中对每个节点的所有邻居节点进行判断，如果邻居节点可以被开启（即上一个节点可以开启该门），且该邻居节点没有被遍历过，则将该邻居节点加入队列中，并将其标记为已访问。

当队列中的节点都被访问完毕之后，如果 t 被标记为已访问，则说明存在一条从 s 到 t 的路径，其中路径上的所有门都可以被开启。

代码实现

下面是一份 Python 代码实现：

def can_reach_doors(n, A, D, s, t):
    # 将 D[i]=True 的节点加入队列，作为初始状态
    queue = [i for i in range(n) if D[i]]
    visited = [False] * n
    visited[s] = True

    while len(queue) > 0:
        # 取出队列中的第一个节点
        node = queue.pop(0)
        if node == t:
            return "Yes"

        # 遍历所有邻居节点
        for i in range(n):
            if A[node][i] and not visited[i]:
                # 如果邻居节点可以被开启，且没有被遍历过，则将其加入队列中
                if D[i] or any(A[j][i] and visited[j] for j in range(n)):
                    visited[i] = True
                    queue.append(i)

    return "No"

其中，参数 n、A、D、s、t 分别对应了问题描述中的输入。

函数 can_reach_doors() 中，我们首先将所有 D[i]=True 的节点加入队列中，作为初始状态。然后使用 while 循环遍历队列中的所有节点，对每个节点的所有邻居节点进行判断，如果邻居节点可以被开启且没有被访问过，则将邻居节点加入队列中，并将其标记为已访问。最后返回 "Yes" 或 "No"，具体根据 t 是否已被标记为已访问来决定。