数学 |代数结构

代数结构

如果非空集 S 遵循以下公理，则称为代数结构 wrt 二元运算 (*)：

• 闭包： (a*b) 对于所有 a,b ∈ 都属于 S S。

例如： S = {1,-1} 是 * 下的代数结构

由于 1*1 = 1, 1*-1 = -1, -1*-1 = 1 所有结果都属于 S。

但上面不是+下的代数结构，因为1+(-1) = 0不属于S。

半组

如果非空集 S, (S,*) 遵循以下公理，则称其为半群：

• 闭包： (a*b) 对于所有 a,b ∈ 都属于 S S。
• 结合性： a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a,b,c 属于 S。

注意：半群始终是代数结构。

例如：(整数集，+)和(矩阵，*)是半群的例子。

幺半群

如果非空集合 S, (S,*) 遵循以下公理，则称为幺半群：

• 闭包： (a*b) 对于所有 a,b ∈ 都属于 S S。
• 结合性： a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a,b,c 属于 S。
• 标识元素：存在 e ∈ S 使得 a*e = e*a = a ∀ a ∈秒

注意：幺半群总是半群代数结构。

Ex : (Set of integers,*) 是 Monoid 因为 1 是一个整数，它也是单位元素。
(自然数集，+)不是 Monoid，因为不存在任何单位元素。但这是半群。
但是(整数集，+)是以 0 作为单位元素的 Monoid。

团体

一个非空集 G, (G,*) 被称为群，如果它遵循以下公理：

• 闭包： (a*b) 对所有 a,b ∈ 都属于 G G。
• 结合性： a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a,b,c 属于 G。
• 标识元素：存在 e ∈ G 使得 a*e = e*a = a ∀ a ∈ G
• 逆： ∀ a ∈ G 存在一个^-1 ∈ G 使得 a*a ^-1 = a ^-1 *a = e

笔记：

1. 群始终是幺半群、半群和代数结构。
2. (Z,+) 和矩阵乘法是群的例子。

阿贝尔群或交换群

如果非空集 S, (S,*) 遵循以下公理，则称为阿贝尔群：

• 闭包： (a*b) 对所有 a,b ∈ 都属于 S S。
• 结合性： a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a,b,c 属于 S。
• 标识元素：存在 e ∈ S 使得 a*e = e*a = a ∀ a ∈秒
• 逆： ∀ a ∈ S 存在一个^-1 ∈ S 使得 a*a ^-1 = a ^-1 *a = e
• 交换式： a*b = b*a 对于所有 a,b ∈秒

注意： (Z,+) 是阿贝尔群的一个例子，但矩阵乘法不是阿贝尔群，因为它不是可交换的。

为了找到属于哪个类别的集合，必须始终从闭包性质等开始一个一个地检查公理。