用组合表解决代数结构问题

问题 1：
设G = { 1, ω, ω ² } 即三个单位根并就乘法形成有限阿贝尔群，也用合成表证明此命题。

解释：
鉴于， Set= G={1, ω, ω ² } ， operation= ‘*’即乘法。

为了证明三个单位根形成一个有限阿贝尔群，我们必须满足以下五个性质，即闭包性质、结合性质、恒等性质、逆性质和交换性质。

注-：ω ³ =1

1) 关闭属性 –

∀ a , b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
a=1 , b=ω ∈ G  
⇒  1 * ( ω ) = ω = ω ∈ G

因此，Closure 属性是满足的。

2) 关联属性 –

(a* b) * c = a*(b *c)          ∀ a , b , c ∈ G
Let a=1, b=ω and c=ω2
So, 
LHS  = ( a * b )*c
     = (1*  ω ) *ω2 = ω3=1
   
RHS  = a * ( b * c)
     = 1*( ω* ω2 ) = ω3= 1

Hence, RHS = LHS

关联性也满足

3) 身份属性 –

a *e = a      ∀  a ∈ G
e=identity=1 (in case of multiplication)
1 ∈  G
Let a=1
1*1= 1
1 ∈  G
Identity property is also satisfied.

4) 反性质——

Number

Inverse

1/1=1

1/ω = ω²/ω .ω² = ω²

ω²

1/ω² = ω /ω².ω =ω

在这里我们可以看到，1 的倒数是 1，ω 的倒数是 ω2，而 ω2 的倒数是 ω。这些逆属于集合 G。

因此，也满足逆性质。

5) 交换性质——

a * b = b * a          ∀ a , b ∈ G
Let a=1, b=ω
LHS = a * b
     = 1*ω = ω
RHS = b * a
     = ω *1= ω
LSH=RHS

交换性也满足。

我们可以看到所有五个属性都满足。因此，三个单位根通过运算乘法形成一个有限阿贝尔群。

成型成分表：

第1步：
将行和列中集合的所有元素和给定操作( * )写入角落，并将列元素与行元素一一相乘并写入行中，如下图所示。

第2步：
将列的每个元素与行元素相乘后，我们的组合表将如下图所示，

第 3 步：
我们知道，

ω3=1 So, ω4=ω3.ω=1.ω=ω

所以我们的成分表变成

第四步：
求逆元素。

从每一行的单位元素画横竖线，竖线提供行元素的逆，我们可以清楚地看到1的逆是1，ω的逆是ω2，ω2的逆是ω。

第 5 步：
从组成表得到阿贝尔群的满足性质

我们在组合表中看到所有数字都在集合 G 中，因此满足闭包属性。
我们看到组合表中的所有数字都属于集合 G，因此满足关联性。
在每一行的组合表中都有标识元素1，满足标识属性。
我们看到 1 的倒数是 1，ω 的倒数是 ω ² ，而 ω ^{2 的}倒数是 ω。都属于集合G，因此逆性质也成立。
组合表中的所有数都属于集合 G ，也满足交换性。

因此，G = { 1, ω, ω ² } 是关于乘法的阿贝尔群。

问题 2：
设置 G = { 1, -1 , i , -i } 即，四个单位根并形成关于乘法的有限阿贝尔群。

解释：
四个单位根是 1 ,-1 , i , -i 。所以我们的集合将是 G={ 1 , -1 , i , -i }

操作 = ‘*’即乘法。

为了证明四个单位根形成一个有限阿贝尔群，我们必须满足以下五个性质，即闭包性质、结合性质、恒等性质、逆性质和交换性质。