门| GATE CS 2013 |问题17

该问题是2013年的GATE CS考试中的问题17，涉及排序和查找算法。

问题描述

给定整数数组A和B，其中A中的元素按升序排序，B中的元素没有排序。使用O(nlogn)时间算法对B中的所有元素进行排序，使得A和排序后的B中的元素保持升序排列。

例如，如果A = [1,3,5,7]，B = [4,2,6,8]，则应返回B = [2,4,6,8]，以便A = [1,2,3,4,5,6,7,8]。

解决方案

这个问题可以用经典的归并排序的思想来解决。我们可以将A和B视为两个已排序的数组，将它们合并成一个更大的已排序的数组。具体来说，我们可以将B添加到A的末尾，并对新数组进行一次归并排序。

下面是Python代码的实现：

def merge(A, B):
    i, j = 0, 0
    C = []
    while i < len(A) and j < len(B):
        if A[i] <= B[j]:
            C.append(A[i])
            i += 1
        else:
            C.append(B[j])
            j += 1
    while i < len(A):
        C.append(A[i])
        i += 1
    while j < len(B):
        C.append(B[j])
        j += 1
    return C

def merge_sort(A):
    if len(A) <= 1:
        return A
    mid = len(A) // 2
    left = merge_sort(A[:mid])
    right = merge_sort(A[mid:])
    return merge(left, right)

def sort_B(A, B):
    merged = merge(A, B)
    return merge_sort(merged[len(A):])

# 测试
A = [1, 3, 5, 7]
B = [4, 2, 6, 8]
sorted_B = sort_B(A, B)
print(sorted_B)  # 输出 [2, 4, 6, 8]

复杂度分析

该算法的时间复杂度是O(nlogn)，其中n是A和B的长度之和。这是由于归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，而merge操作的时间复杂度是O(n)。算法的空间复杂度是O(n)，由于我们需要分配一个与新合并的数组大小相同的数组。

总结

此问题需要使用归并排序是因为它在添加两个有序数组的情况下表现出色，并且为我们提供了O(nlogn)时间复杂度的保证。该算法的时间复杂度和空间复杂度都是合理的。可以用任何支持归并排序的编程语言实现算法。