第12类RD Sharma解决方案-第21章边界区域–练习21.4

问题1.找到抛物线x = 4y-y ²和线x = 2y-3之间的区域的面积。

解决方案：

Area of the bounded region

$=\int_{-1}^{3}(4y-y^2-2y+3)dy\\ =[2\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+3y]_{-1}^{3}\\ =9-9+9-1-\frac{1}{3}+3-\frac{(16a)^3}{48a}\\ =\frac{32}{3}sq.\ units$

问题2。找到抛物线x = 8 + 2y-y ^2所界定的区域； y轴和线y = -1和y = 3。

解决方案：

Area of the bounded region

$=\int_{-1}^{3}(5-0)dy+\int_{-1}^{3}8+2y-y^2-5\ dy\\ =[5y]_{-1}^{3}+[3y+y^2-\frac{y^3}{3}]_{-1}^{3}\\ =15+5+9+9-\frac{27}{3}+3-1-\frac{1}{3}\\ =\frac{92}{3}sq.\ units$

问题3.找出由抛物线y ² = 4x和线y = 2x − 4界定的区域。

(i)使用水平条

(ii)使用竖条

解决方案：

Area of the bounded region

$=\int_{-2}^{4}(\frac{y+4}{2}-\frac{y^2}{4})\ dy\\ =[\frac{y^2}{4}+2y-\frac{y^3}{12}]_{-2}^{4}\\ =4+8-\frac{16}{3}-1+4-\frac{2}{3}\\ =9\ sq.\ units$

问题4：找到抛物线y ² = 2x和直线x − y = 4的边界区域的面积。

解决方案：

Area of the bounded region

$=\int_{-2}^{4}(y+4-\frac{y^2}{2})\ dy\\ =[\frac{y^2}{2}+4y-\frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}\\ =8+16-\frac{32}{3}-2+8-\frac{4}{3}\\ =18\ sq.\ units$