📅  最后修改于: 2023-12-03 15:11:28.793000             🧑  作者: Mango
RD Sharma是印度著名的数学家,他的教材是印度学生必修的数学教材之一。其中“第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 21 章有界区域”是本教材中较为复杂的一章,需要深入理解和大量练习才能掌握。
本文将介绍该章练习21.2的解答方法,希望对正在学习该教材的程序员有所帮助。
假设 $f(z)$ 在有界区域 $D$ 内是全纯的,若 $|f(z)| \ne 1$,则证明 $f(z)$ 是常数。
首先,假设存在$z_0\in D$,使得$f(z_0)\neq 0$,则$f(z)$可以表示为$f(z)=e^{g(z)}$,其中$g(z)=\ln|f(z)|+i\arg f(z)$。
由于$|f(z)|\neq 1$,所以$g(z)$在$D$内是全纯的。又由于$D$是有界区域,所以$g(z)$在$D$内是有界的。因此,$g(z)$的最大值和最小值都可以在$D$的边界上取到。
现在考虑当$|f(z)|=1$时的情况。如果$f(z)=1$对所有$z\in D$都成立,那么$f(z)$是常数$1$。如果存在$z_0\in D$使得$f(z)=e^{i\theta}$,其中$\theta\neq 0$,那么$g(z)=i\theta$对所有$z\in D$都成立。这说明$g(z)$在$D$内不是有界的,与我们之前得出的结论相矛盾。
因此,我们得出结论:$f(z)$是常数。
在有界区域$D$内,如果$f(z)$是全纯的,并且$|f(z)|\neq 1$,那么$f(z)$是常数。这个结论也可以使用最大模原理来证明。
本文的解答方法是根据本章的内容进行推导和分析而得出的,希望能够帮助读者更好地理解和掌握有界区域的相关知识。