门 | GATE CS 2013 | 问题24

本文为GATE CS 2013年的问题24，题目为“考虑一系列门，每个门有两个输入和一个输出。输出等于输入1 NAND 输入2。门和他们的输入输出间的关系可以用一张图表示。给定n个输入，问题是要找到最少的门数来实现这些输入”。

在计算机体系结构和电路设计领域，门是实现逻辑函数的基本构件。与其他门类型不同，NAND是唯一一种门，它能以它自己作为电路的基本元素来实现其他所有门类型。在这个问题中，我们考虑一系列门，每个门有两个输入和一个输出，输出等于输入1 NAND 输入2。要确定最少的门数来实现这一系列门。

解决方案

我们可以使用递归或者动态规划的方法解决这个问题。在这里，我们将解释这两种方法的实现。

递归方法

以下是递归解决方案的关键思想：

• 如果输入数量小于或等于2，那么我们可以采用传递这些值的适当NAND门组合来处理这些输入。
• 如果输入数量大于2，则我们需要将输入分成两半（或略微不均匀的两半）。然后，我们对每一半递归地进行同样的操作。
• 然后，我们将使用更高级的NAND门组合来处理这两个结果。

这个问题的Python代码如下：

def get_nand_count(n):
    if n <= 2:
        return 1
    elif n % 2 == 0:
        return 1 + get_nand_count(n // 2) + get_nand_count(n // 2)
    else:
        return 1 + get_nand_count(n // 2) + get_nand_count(n // 2 + 1)

使用上述代码，我们可以找到实现n个输入所需的最小门数。

动态规划方法

以下是动态规划解决方案的关键思想：

• 我们将创建一个数组，其中第i个元素是实现i个输入所需的最小门数量。
• 对于每个i，我们可以将i分成两个较小的部分，然后将这些部分的门数相加。我们可以通过从1到i遍历所有可能的n，然后使用nAND门组合来获得最小值。
• 然后，我们将在数组的第i个位置存储最小值。

这个问题的Python代码如下：

def get_nand_count(n):
    nand_count = [0] * (n + 1)
    nand_count[0] = 0
    nand_count[1] = 1
    
    for i in range(2, n + 1):
        min_count = i
        for j in range(1, i // 2 + 1):
            count = 1 + nand_count[j] + nand_count[i - j]
            if count < min_count:
                min_count = count
        nand_count[i] = min_count
        
    return nand_count[n]

使用上述代码，我们可以找到实现n个输入所需的最小门数。

总结

本文介绍了如何使用递归和动态规划来解决GATE CS 2013的问题24。无论您使用哪种方法，都应该能够找到实现n个输入所需的最小门数。递归解决方案对于较小的输入量非常适合，而动态规划解决方案对于更大的输入量非常适合。