离散结构或离散数学中的集合类型

在本文中，我们将讨论离散结构或离散数学中的集合类型。此外，我们将介绍这些示例。让我们一一讨论。

1. 部分有序集或POSET：
   偏序集(POSET)由具有以下三个二进制关系的集组成。
   • 自反关系–每个元素都映射到自身的关系。
   • 反对称关系–如果(a，b)∈R和(b，a)∈R，则a = b。
   • 传递关系–如果(a，b)∈R和(b，c)∈R，则(a，c)∈R)。

   例子 –
   设A为一个集合：A = {1,2,3}。

   Question-1 : 
   R1 = { } . 
   Is R1 a POSET?
   

   回答 –
   R1不是POSET，因为R1不是自反的。如果三个关系中的任何一个都不可用，则它不是POSET。

   Question-2 :
   R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} . 
   Is R2 a POSET?
   

   回答 –
   这是POSET，因为R2具有自反性，传递性和反对称性。

   Question-3 : 
   R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} . 
   Is R3 a POSET?

   回答 –
   这不是POSET，因为R3是自反的，但不是反对称的。它实际上是对称的。因此它不能是POSET。

2. 线性有序集：
   也称为链或总有序集。基本上，这是一个POSET，其中任意给定(x，y)对都满足x≤y或y≤x。或者我们可以说，如果任何一个陈述“ x 三分法则)，那么它就是一个线性有序集。

   例子 –
   具有自然顺序([R，≤])的一组实数是线性排序集，因为首先是POSET，如果我们采用任意两个实数，例如(r1，r2)∈R，则至少有一个实数以下三个语句始终为真：r1

3. 同构有序集：
   假设(A，≤)和(B，≤)是两个部分有序的集合，则如果它们的“结构”完全相似，则称它们是同构的。

   例子 –
   设两个POSET，分别为≤排序的A = P({0，1})和按除法关系排序的B = {1,2,3,6}是同构有序集。

   解释 ：
   POSET A的Hasse图–

   A = { Φ, {0}, {1}, {0, 1} } with subset relation.

   

   POSET B的Hasse图–
   

   如果我们尝试定义地图。

   f( Φ ) = 1, f( {0} ) = 2, 
   f( {1} ) = 3 and f( {0, 1} ) = 6. 
   So both the sets are isomorphic. 
   Hence, they are Isomorphic Ordered Set.

4. 井井有条的套装：
   如果每个非空子集都有一个最小元素，则部分排序的集合称为“排序良好的集合”。

   例子 –
   一组自然数且小于操作数([N，≤])的则是一个有序集，因为首先是POSET，如果我们采用任意两个自然数，例如n1和n2，其中n1≤n2。在此，n1是最小的元素。因此，它是一个井井有条的集。

   笔记 –

   • 任何井井有条的套装都是完全有序的。
   • 井井有条集的每个子集都井井有条，且顺序相同。