介绍 ：
下面公理地定义了自然数集。这些公理归功于意大利数学家 G. Peano 和德国数学家 JWR Dedekind。这些公理的目的是在定义一个函数来创建剩余的自然数之前证明一个自然数的存在，称为后继函数。
皮亚诺公理：
进一步推理和论证的前提或起点是公理、假设或假设，即假设为真的陈述。 G.Peano 开发的公理是——
- P1。 0∈N； 0 是一个自然数 –
公理 5 实际上在 Peano 公理的不同版本中用 1 替换了 0。这产生了一组几乎相同的自然数，称为“正整数”。上下文决定了数学家是否在自然数中包含 0。我们遵循将 0 作为自然数包含在内的标准做法。
此时只能保证单个自然数 0 的存在。在下一个公理中使用后继函数来构造其他自然数。后继函数是定义域为 N 的函数S，顾名思义。根据下一个公理，S 的共同域也是 N。
接下来的三个公理描述了等式关系。 - ∀x ∈ N ⇒ x=x ;
反身平等。第四个公理，称为等式闭包公理，指出如果“任何事物”等于一个自然数，那么“任何事物”也必定是一个自然数。 - ∀ x, y ∈ N ;如果 x=y ⇒ y=x ;
对称相等。如果一个自然数等于另一个自然数，则第二个数字应等于第一个。这被称为对称公理。 - ∀ x, y, z ∈ N;如果 x=y & y = z ⇒ x=z;
传递相等性。下一个性质表明，如果一个自然数等于第二个，并且第二个自然数等于第三个，则第一个和第三个相等。传递性公理就是所谓的。 - ∀ a, b ;如果 a ∈ N 且 a=b ⇒ b 也是自然数。
- P2。如果 x ∈ N ⇒ S(x) ∈ N。
在皮亚诺最初的公理中，使用 1 而不是 0 作为“第一个”自然数。
皮亚诺公理的最新公式以 0 开头。这是因为 0 是算术中的加法恒等式。
如果 x 是自然数，则 x 的后继者也是自然数。
正如公理所示，S(x) 将被称为 x 的后继者。
直观地， S(x) 应该被解释为x+1 。
我们距离现在所知道的自然数还有很长的路要走。公理 1 和 6 定义了自然数的一元表示：
S(0) = 0 +1 = 1
S(S(0)) = S(1) = 1+1 = 2 。
此表示的属性由接下来的两个公理定义。 - 若 n ∈ N ; S(n)≠0。
如果 n ∈ N，则 n 的后继不能为 0。 - ∀ a, b ∈ N；如果 S(a) = S(b) ⇒ a = b。
S是一个注入(一一映射，即每个数的后继都是唯一的)
前面的公理有一些重要的含义。从公理 1，它排除了将 N 定义为简单的 0 和 1 的选项。
要理解原因，请考虑 S(0) = 1 已经存在，并且由于注入映射，S(1) = 1 是不可能的。
公理6排除了S(1)=0的可能性。因此，S(1)必定是另一个自然数，我们称之为2。
因此： 2 = S(1) 。
根据类似的推理，S(2) 不能为 0、1 或 2。
因此，它必须是一个不同的自然数，我们称之为 3。按照这个模式，我们可以推断出 N 必须包含我们知道的所有自然数。此时，我们知道 N 必须包含 0，并且其后继 1 = S(0)，其后继 2 = S(1)，依此类推。因此，每个数字都有一个唯一的后继。
所以，如果我们说这两个后继者是相同的，那么就意味着他们是同一个数字的后继者。 - 如果 V 是一个归纳集； IE ; 0 ∈ V 且每个自然数 n ∈ V，则 S(n) ∈ V ⇒ N ⊂ V
如前所述，前八个公理保证 { 0, 1, 2, 3, … } ∈ N。我们知道集合 { 0, 1, 2, 3, … } 是一个归纳集合。作为公理 9 的结果，N ⊂ { 0, 1, 2, 3,…} 必须为真。结果，我们得到了我们正在寻找的集合相等：N = { 0, 1, 2, 3,…}