数学 |环、积分域和域

先决条件 – 数学 |代数结构

环 –设加法 (+) 和乘法 (.) 是定义在非空集 R 上的两个二元运算。 如果满足以下条件，则称 R 形成了加法 (+) 和乘法 (.) 的环：

1. (R, +) 是一个阿贝尔群(即交换群)
2. (R, .) 是一个半群
3. 对于任意三个元素 a, b, c $\epsilon$ R 左分配律 a.(b+c) =ab + ac 和右分配性质 (b + c).a =ba + ca 成立。

因此，非空集 R 是二元运算 + 和 的环。如果满足以下条件。

1. 对于所有 a, b $\epsilon$ R, a+b $\epsilon$ R,
2. 对于所有 a, b, c $\epsilon$ R a+(b+c)=(a+b)+c，
3. R 中存在一个元素，记为 0，使得 a+0=a 对于所有 a $\epsilon$电阻
4. 对于每一个$\epsilon$ R 存在一个 y $\epsilon$ R 使得 a+y=0。 y 通常用 -a 表示
5. a+b=b+a 对于所有 a, b $\epsilon$ R。
6. AB $\epsilon$ R 代表所有 ab $\epsilon$ R。
7. a.(bc)=(ab).c 对于所有 a, b $\epsilon$电阻
8. 对于任意三个元素 a, b, c $\epsilon$ R a.(b+c) =ab + ac 和 (b + c).a =ba + ca 并且该环由 (R, +, .) 表示。

一些例子 –

1. ( $\mathbb{Z}$ , + ) 是一个交换群 .( $\mathbb{Z}$ , .) 是一个半群。分配律也成立。所以， (( $\mathbb{Z}$ , +, .) 是一个环。
2. 整数环模 n：对于一个$\epsilon$ [Tex]\mathbb{N} [/Tex]let $\mathbb Z_n$是整数模余数的类$\mathbb Z_n$ ={ $\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, ......., \overline{n-1}$ )。
   ( $\mathbb Z_n$ , +) 是一个交换群，而 + 是加法(mod n)。
   ( $\mathbb Z_n$ , .) 在这里是一个半群。表示乘法(mod n)。
   分配律也成立。所以 (( $\mathbb Z_n$ , +, .) 是一个环。
3. 集合 S = {0, 1, 2, 3, 4} 是一个关于运算加法模 5 和乘法模 5 的环。

(S,+5) 是一个阿贝尔群。从上面的第一个组成表我们可以得出结论，(S,+5) 满足 –

• 闭包： a ∈ S ,b ∈ S => a + ₅ b ∈ S ； ∀ a,b ∈ S
• 结合性： (a+ ₅ b)+5c = a+ ₅ (b+ ₅ c) ； ∀ a,b,c ∈ S。
• 身份0的存在： (a+ ₅ b)+ ₅ c = a+ ₅ (b+ ₅ c) ； ∀ a,b,c ∈ S。
• 逆的存在：0、1、2、3、4的逆分别是0、4、3、2、1&
• 交换： (a+ ₅ b) = (b+ ₅ a) ； ∀ a,b ∈ S

2. (S,* ₅ ) 是一个半群。从上面的第二个组成表我们可以得出结论， (S,* ₅ ) 满足：

• 闭包： a ∈ S ,b ∈ S => a * ₅ b ∈ S ； ∀ a,b ∈ S
• 结合性： (a* ₅ b)* ₅ c = a* ₅ (b* ₅ c) ； ∀ a,b,c ∈ S

3. 乘法是分配于加法：

(a) 左分配 : ∀ a, b, c ∈ S :

a* ₅ (b + ₅ c)

= [ a * (b + c) ] mod 5

= [a*b + a*c] 模 5

= (a * ₅ b) +5 (a * ₅ c)

⇒ 乘法模 5 对加法模 5 具有分布性。

同理，也可以证明右分配律。

因此，我们可以得出结论，(S,+,*) 是一个环。

还可以在环上给出许多其他示例，例如 ( $\mathbb R$ , +, .), ( $\mathbb Q$ , +, .) 等。

在进一步讨论环之前，我们定义了环中零的除数和单位的概念。

A 环中的除数零 –
在环 R 中，如果 R 中存在非零元素 b 使得 ab=0 或 R 中存在非零元素 c 使得 ca=0 在第一种情况下，则称非零元素为零的约数a 被称为零的左除数，在后一种情况下 a 被称为零的右除数。显然，如果 R 是一个交换环，那么如果 a 是零的左约数，那么 a 也是零的右约数。

示例 –在环中 ( $\mathbb Z_6$ , +, .) $\bar{2}, \bar{3}, \bar{4}$是零的除数，因为
$\bar{2}.\bar{3}=\bar{6}=\bar{0}$等等 。
另一方面，戒指( $\mathbb Z$ , +, .), ( $\mathbb R$ , +, .), ( $\mathbb Q$ , +, .) 不包含零的除数。

单位 –
在具有统一性的非平凡环 R(至少包含 to 个元素的环)中，如果 R 中存在元素 b 使得 ab=ba=I，I 是 R 中的统一性，则称 R 中的元素 a 是一个单元. b 被称为 a 的乘法逆。

与 Ring 相关的一些重要结果：

1. 如果 R 是一个非平凡环(至少包含两个元素的环)，且具有统一性 I 那么 I $\neq$ 0.
2. 如果 I 是环 R 中的乘法身份，则 I 是唯一的。
3. 如果 a 是环 R 中的一个单位，那么它的乘法逆是唯一的。
4. 在非平凡环 R 中，零元素没有乘法逆。

戒指类型：

1. 空环：单例集：{0} 具有 2 个二元运算“+”和“*”，定义为：
   0+0 = 0 & 0*0 = 0 称为零/零环。
2. Ring with Unity ：如果 R 中存在由 1 表示的元素，则：
   1*a = a* 1 = a ； ∀ a ∈ R，则该环称为具有统一性的环。
3. 交换环：如果环 R 中的乘法也是交换环，则环称为交换环。
4. 整数环：具有 2 个二元运算“+”和“*”的整数集合 I 被称为整数环。
5. 布尔环：每个元素都是幂等的环，即 a ² = a ； ∀ a ∈ R
   现在我们引入一个新的概念积分域。

积分域 –具有统一性的非平凡环(至少包含两个元素的环)如果是可交换的且不包含零的约数，则称其为积分域。

例子 –
戒指( $\mathbb Z$ , +, .), ( $\mathbb R$ , +, .), ( $\mathbb Q$ , +, .) 是积分域。
戒指 (2 $\mathbb Z$ , +, .) 是一个交换环，但它既不包含单位，也不包含零的约数。所以它不是一个完整的域。

接下来我们将前往 Field 。

域——一个具有统一性的非平凡环 R 是一个域，如果它是可交换的并且 R 的每个非零元素都是一个单元。因此一个非空集 F 形成一个字段 .rt 两个二元运算 + 和 。如果

1. 对于所有 a, b $\epsilon$ F, a+b $\epsilon$ F，
2. 对于所有 a, b, c $\epsilon$ F a+(b+c)=(a+b)+c,
3. F 中存在一个元素，记为 0，使得 a+0=a 对于所有 a $\epsilon$ F
4. 对于每一个$\epsilon$ R 存在一个 y $\epsilon$ R 使得 a+y=0。 y 通常表示为 (-a)
5. a+b=b+a 对于所有 a, b $\epsilon$ F。
6. AB $\epsilon$ F 代表所有 ab $\epsilon$ F。
7. a.(bc)=(ab).c 对于所有 a, b $\epsilon$ F
8. 在 F 中存在一个元素 I，称为单位元素，使得 aI=a 对于 F 中的所有 a
9. 对于 F 中的每个非零元素 a 都存在一个元素，表示为$a^{-1}$在 F 使得$a a^{-1}$ =我。
10. ab =ba 对于所有 a, b 在 F 。
11. a.(b+c) =ab + ac 对于 F 中的所有 a, b, c

示例 –戒指( $\mathbb Q$ , +, .), ( $\mathbb R$ , + 。 .) 是熟悉的字段示例。

一些重要的结果：

1. 一个域是一个完整的域。
2. 有限积分域是一个域。
3. 一个不包含零除数的非平凡有限交换环是一个积分域