数学 |拉格朗日中值定理

小号uppose

$f:[a,b]\rightarrow R$

是满足以下条件的函数：

1) f(x) 在闭区间 a ≤ x ≤ b 内连续

2) f(x) 在开区间 a < x < b 是可微的

那么根据拉格朗日定理，在开区间 (a, b)中至少存在一个点 ‘c’ 使得：

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

我们可以通过下图形象化拉格朗日定理

简单来说，拉格朗日定理说，如果在二维平面中的两点 A(a, f(a)) 和 B(b, f(a)) 之间有一条路径，那么至少会有一个点 ‘ c’ 在路径上，使得点 ‘c’ 处的切线斜率，即(f ‘ (c))等于路径的平均斜率，即，

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

示例：验证区间 [2,4] 中 f(x) = x ^{2 的}均值定理。

解决方案：首先检查函数在给定的闭区间内是否连续，答案是肯定的。然后检查开区间 (2,4) 中的可微性，是的，它是可微的。

${f}'(x)=2x$

f(2) = 4

和 f(4) = 16

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{16-4}{4-2}=6$中值定理指出，有一个点 c ∈ (2, 4) 使得

${f}'(c)=6$

但

${f}'(x)=2x$

这意味着 c = 3。因此在 c = 3 ∈ (2, 4)，我们有

${f}'(c)= 6$

本文由 Saurabh Sharma 提供。如果您想做出贡献，请发送电子邮件至 [e-mail]。