门 | GATE-IT-2004 |第 45 题

本题是GATE-IT-2004考试的第45题，考查了偏序关系及其效率问题。

考试题目描述

题目背景

偏序关系：对于非严格的二元关系R，若R是自反的(reflexive)、反对称的(antisymmetric)、传递的(transitive)，则称R是偏序关系(partial order)。

题目要求

给定一个有$n$个元素的线性排序集合$S$，元素分别为$a_1, a_2, ..., a_n$。需要找到集合中的最小元素$m$和次小元素$p$。

要求给出时间复杂度为$O(n)$的算法。

假设每个元素之间的比较需要花费1个单位的时间。

解题思路

算法分析

我们可以使用计数器加比较的方式来确定每个元素是否是最小元素或次小元素。

具体来说，我们先将计数器设置为0，然后从左到右遍历集合，并比较当前元素和计数器表示的元素之间的大小。

若当前元素小于计数器表示的元素，则将当前元素设为最小元素；

否则，若当前元素等于计数器表示的元素，则最小元素不变，将次小元素设为当前元素；

最后，若次小元素未被更新，则说明最小元素就是集合$S$中的最小元素，否则次小元素即为集合$S$中的次小元素。

显然，上述算法需要进行$n - 1$次比较，因此时间复杂度为$O(n)$。

代码实现

下面是使用Python语言实现的代码片段：

def find_second_smallest(array):
    # 初始化
    min_count = 0
    sec_min_count = 0
    n = len(array)
    min_value = array[0]
    sec_min_value = None
    
    # 遍历集合
    for i in range(1, n):
        # 更新最小元素和次小元素
        if array[i] < min_value:
            sec_min_value = min_value
            sec_min_count = min_count
            min_value = array[i]
            min_count = i
        elif sec_min_value is None or array[i] < sec_min_value:
            sec_min_value = array[i]
            sec_min_count = i
    
    # 返回最小元素和次小元素
    if sec_min_value is None:
        return min_value, None
    else:
        return min_value, sec_min_value

总结

本题考查了偏序关系及其效率问题，涉及到数据结构与算法中的排序、计数器等知识点。

需要注意的是，偏序关系是一种比较松散的关系，它与等价关系(equivalence relation)和全序关系(total order)是不同的。在算法设计中，我们需要根据具体的问题场景来选择合适的关系类型，进而合理选择对应的算法。