第 12 类 RD Sharma 解决方案 – 第 30 章线性规划 – 练习 30.4 |设置 2

本文介绍RD Sharma第12类第30章线性规划练习30.4-设置2的解决方案。线性规划是运筹学中的一个重要分支，是通过建立数学模型来优化线性目标函数的过程。这个过程可以采用逐步逼近法，单纯形法等方法来实现。在线性规划中，我们要最大化或最小化某个目标函数，并且满足一些约束条件。

练习30.4-设置2

题目描述：

用两种麦子A和B制作两种饲料Y和Z。A中蛋白质含量为4%，B中蛋白质含量为8%. 单位重量饲料Y和Z所需麦子A、B的数量变量分别为 x11, x21 和 x12, x22。已知：

1. 系统有200kg麦子A和100kg麦子B
2. 由于摄入过多蛋白质会引起疾病，所以两种饲料中蛋白质最多只能含有12%
3. 饲料Y和Z最低需含有5kg和7kg蛋白质，分别为P1和P2
4. 每种饲料的成本分别为20元和30元

求：应怎样分配生产量才能满足约束，且成本最少？

解题思路：

这道题目属于线性规划问题，我们需要先建立模型和目标函数，然后使用单纯形法来求解。

首先，假设我们要生产x11单位重量的饲料Y和x12单位重量的饲料Z。那么我们需要的麦子A和B的数量分别为4x11+8x12和0.04x11+0.08x12。同理，如果我们生产x21单位重量的饲料Y和x22单位重量的饲料Z，我们需要的麦子A和B的数量分别为4x21+8x22和0.04x21+0.08x22。

我们的约束条件如下：

1. 麦子A的总用量不能超过200kg: 4x11 + 4x21 <= 200
2. 麦子B的总用量不能超过100kg: 8x12 + 8x22 <= 100
3. 两种饲料中蛋白质含量不超过12%: 0.04x11 + 0.04x21 + 0.08x12 + 0.08x22 <= (x11 + x21 + x12 + x22) * 0.12
4. 饲料Y和Z的蛋白质含量不少于5kg和7kg: 4x11 + 4x21 >= 5 和 4x12 + 4x22 >= 7

我们的目标函数为20x11 + 20x12 + 30x21 + 30x22，即要最小化生产成本。

使用单纯形法求解上述线性规划问题。

解决方案：

## 解决方案

### 线性规划模型

最小化函数: `Z = 20x11 + 20x12 + 30x21 + 30x22`

约束条件: 

- 麦子A的总用量不能超过200kg: `4x11 + 4x21 <= 200`
- 麦子B的总用量不能超过100kg: `8x12 + 8x22 <= 100`
- 两种饲料中蛋白质含量不超过12%: `0.04x11 + 0.04x21 + 0.08x12 + 0.08x22 <= (x11 + x21 + x12 + x22) * 0.12`
- 饲料Y和Z的蛋白质含量不少于5kg和7kg: `4x11 + 4x21 >= 5` 和 `4x12 + 4x22 >= 7`

### 单纯形法求解

考虑引入人工变量得到一个初始可行解:

• 人工变量v1: 4x11 + 4x21 + v1 = 5
• 人工变量v2: 4x12 + 4x22 + v2 = 7

初始表格为:

||x11|x12|x21|x22|v1|v2|b|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|v1|4|0|4|0|1|0|5|
|v2|0|4|0|4|0|1|7|
|Z|20|20|30|30|0|0|0|

选用 x11 进行出基操作，入基 v1，得到新表格为:

||x11|x12|x21|x22|v1|v2|b|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|v1|1|0|-1|0|1/4|0|5/4|
|v2|0|4|0|4|0|1|7|
|Z|20|20|10|50|-5|0|25|

选用 x12 进行出基操作，入基 v2，得到新表格为:

||x11|x12|x21|x22|v1|v2|b|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|v1|1|0|-1/4|0|1/16|1/4|45/16|
|x12|0|1|0|1|0|1/4|7/4|
|Z|20|20|10|110|-5/4|5/4|210|

选用 x22 进行出基操作，入基 v1，得到新表格为:

||x11|x12|x21|x22|v1|v2|b|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|v1|1/10|0|-1/40|1/20|1/80|1/20|109/800|
|x12|0|1|0|1|0|1/4|7/4|
|Z|2|20|5|111/2|5/8|35/8|959/8|

选用 x21 进行出基操作，入基 v1，得到新表格为:

||x11|x12|x21|x22|v1|v2|b|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|x21|2|0|1|0|1/4|-1/10|17/4|
|x12|0|1|0|1|0|1/4|7/4|
|Z|50|20|0|111/2|-25/8|149/40|127/2|

最优解为: Zmin = 127/2，即最小成本为63.5元，此时 x11 = 2 单位重量饲料Y，x12 = 7/4 单位重量饲料Z，x21 = 17/4 单位重量饲料Y，x22 = 0 单位重量饲料Z。

因此，这个问题的最优解为生产2单位重量饲料Y和7/4单位重量饲料Z，成本最少为63.5元。

这就是RD Sharma 第12类第30章线性规划练习30.4-设置2的解决方案，通过建立数学模型和单纯形法求解的方法，我们可以轻松地解决这种线性规划问题。