门| GATE CS Mock 2018 |问题 33

这是一个面试问题，与计算机科学专业有关。在GATE CS Mock 2018的考试中出现，考察了面试者的算法和数据结构知识。

问题描述

给定一组n个门。每个门都由两个开关控制——第一个开关打开或关闭门，第二个开关切换当前开关控制的门。您需要从任意一个门开始，轮流通过每个门并打开它。找到一种方法，使您能够打开所有门。您需要计算所需的最少步骤数，并输出此数字。

例如，给定三个门A、B和C，它们的初始状态为A和B处于关闭状态，C处于打开状态。如果初始打开B，那么下一步应该打开A，然后切换到B，再到C。这样需要3步。

问题分析

这是一个经典的图形问题。我们可以将门看作图形中的顶点，开头的门看作起点，以及门之间的连接关系。

在这个图形中，我们有两种不同的操作：切换当前开关控制的门，或打开当前门。因为每个门都有两个不同的状态（打开或关闭），因此使用二进制字符串来表示状态是有意义的。对于n个门的状态，我们用一个长度为n的二进制字符串来表示，其中第i个字符表示第i个门的状态（1表示已打开，0表示已关闭）。

为了计算所需的最少步骤数，我们可以采用广搜算法。我们将状态看作图形中的节点，并根据打开和切换门之间的操作添加边。然后我们在图形上运行广搜算法来计算从起点到达终点状态所需的最少步骤数。

实现方案

首先，我们需要构造状态图。这里我们可以用一个二维数组stateGraph，其中状态图中的每个节点都用一个元组来表示：

stateGraph = []
for i in range(2 ** n):
    state = bin(i)[2:].zfill(n) # 将整数转换为二进制字符串，前导零填充至n位
    edges = []  # 边列表
    for j in range(n):
        newState = state[:j] + str(1 - int(state[j])) + state[j+1:] # 切换第j个门状态
        edges.append((state, newState))
        if state[j] == "1":
            newState = state[:j] + "0" + state[j+1:]  # 关闭第j个门
        else:
            newState = state[:j] + "1" + state[j+1:]  # 打开第j个门
        edges.append((state, newState))
    stateGraph.append(edges)

然后，我们可以通过运行广搜算法来计算最少步骤数：

from queue import Queue

def minSteps(n, initial):
    q = Queue()
    visited = set()
    start = bin(int(initial, 2))[2:].zfill(n)
    q.put((start, 0))
    visited.add(start)
    while not q.empty():
        curr, steps = q.get()
        if int(curr, 2) == 2 ** n - 1:
            return steps
        for edge in stateGraph[int(curr, 2)]:
            _, neighbor = edge
            if neighbor not in visited:
                visited.add(neighbor)
                q.put((neighbor, steps + 1))
    return -1 # 无法打开所有门

此算法的时间复杂度为O($2^n*n$)。

总结

在此算法中，我们首先将问题转换为状态图问题，然后使用广搜算法来计算所需的最少步骤数。虽然此算法的时间复杂度较高，但对于较小的n而言，效果还是不错的。在实际工程中，可能需要我们进行优化，以提高算法的执行效率。