NCERT解决方案-第14章统计-练习14.4

简介

该解决方案是第10类NCERT数学教材中第14章“统计”练习14.4的答案。该练习主要涉及组合、排列和求解概率的计算。

内容

14.4.1

题目

从26个字母中，取出3个字母，列出所有可能的集合。

解答

使用组合公式，假设已经选出3个字母，因为字母不重复，因此有以下的排列组合方式：

$$ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} $$

将n=26，r=3代入公式中，可以计算得到排列数为：

$$ ^nP_r = \frac{26!}{(26-3)!} = 26×25×24 = 15,600 $$

因此，从26个字母中取出3个字母，可以得到15600个集合。

14.4.2

题目

一个玻璃罐中装有60颗糖，其中有10颗是黄色。从中随机取出10颗糖，求其中恰好有4颗是黄色的概率。

解答

使用组合公式，假设已经选出10颗糖，因为糖不重复，因此有以下的排列组合方式：

$$ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} $$

将n=60，r=10代入公式中，可以计算得到排列数为：

$$ ^nP_r = \frac{60!}{(60-10)!} = 60×59×58×57×56×55×54×53×52×51 $$

但是，这样的排列并没有考虑选中的糖中有哪些是黄色，因此需要再次使用组合公式，计算黄色糖的排列组合方式：

$$ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} $$

将n=10，r=4代入公式中，可以得到：

$$ ^nP_r = \frac{10!}{(10-4)!} = 10×9×8×7 $$

因此，其中恰好有4颗糖是黄色的概率为：

$$ \frac{(^4P_4×^{56}P_6)}{^{60}P_{10}} = \frac{(10×9×8×7×53×52×51×50×49×48)}{(60×59×58×57×56×55×54×53×52×51)} $$

化简后，可以得到概率值为：

$$ \frac{441}{1188186} $$

14.4.3

题目

一个医生接诊的病人中，有30%的人感冒，60%的人发烧，10%的人既感冒又发烧，从该群体中随机抽出一个人，求该人同时感冒和发烧的概率。

解答

设A表示感冒，B表示发烧，根据题意，有：

$$ P(A) = 0.30 $$

$$ P(B) = 0.60 $$

$$ P(A \cap B) = 0.10 $$

要求同时感冒和发烧的概率，即求P(A∩B)，可以使用以下公式：

$$ P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B) $$

其中，

$$ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) $$

带入已知信息，可以得到：

$$ P(A\cup B) = 0.30 + 0.60 - 0.10 = 0.80 $$

因此，该人同时感冒和发烧的概率为：

$$ P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B) = 0.30 + 0.60 - 0.80 = 0.10 $$

14.4.4

题目

一支红笔和一支蓝笔装在一个盒子里面，又从这个盒子中随机取出一支笔，如果取出的是红笔，则以$\frac35$的概率可以较好地写字，否则只有$\frac15$的概率可以较好地写字。求从盒子中取出一支笔并能以较好的方式书写的概率。

解答

设A表示取出红笔，B表示能以较好的方式书写，根据题意，有：

$$ P(A) = \frac{1}{2} $$

$$ P(B|A) = \frac{3}{5} $$

$$ P(B|\neg A) = \frac{1}{5} $$

要求从盒子中取出一支笔并能以较好的方式书写的概率，即求P(B)，可以使用全概率公式：

$$ P(B) = P(A)P(B|A) + P(\neg A)P(B|\neg A) $$

带入已知信息，可以得到：

$$ P(B) = \frac{1}{2}×\frac{3}{5} + \frac{1}{2}×\frac{1}{5} = \frac{2}{5} $$

因此，从盒子中取出一支笔并能以较好的方式书写的概率为$\frac25$。

代码实现

本题不涉及具体代码实现，因此无代码实现部分。

总结

本练习涉及组合、排列及求解概率的计算，在解题过程中需要注意组合和排列的区别，并且能够熟练地使用排列组合公式进行计算。对于概率问题，需要熟练掌握全概率公式以及条件概率的求解方法。