11类NCERT解决方案-第14章数学推理–练习14.4

简介

该练习包括有关测量及其应用的问题。在这个练习中，你需要研究各种测量单位，如厘米，米，千克，克等，并学习它们在解决问题中的应用。每个问题都需要重新建立一个比例，使用想象力和逻辑来确定解决方案。

练习题

以下是该练习的练习题：

1. 如果一个角锥的底面是一个圆形，其半径为 3 厘米，高度为 4 厘米。确定以下：第一，侧面积；第二，侧壁的长度；第三，表面积；和第四，体积。

2. 在一个长方形花园的中心花坛中，有一个圆形草坪，其直径为 28 米。一个人走遍了整个花坛的边缘，发现它的长度是 200 米。求花坛的长度和宽度。

3. 一个铁球的半径是 10.5 厘米。该球由四个部分组成，第一部分是一个球形，第二部分是一个圆柱形，第三部分是一个锥形，第四部分是半个球形。大球的直径是多少？同时，求这四个部分的表面积。

代码片段

### 1. 如果一个角锥的底面是一个圆形，其半径为 3 厘米，高度为 4 厘米。

#### 第一部分：侧面积
侧面积等于“ $\frac {\text{底面周长} \times \text{母线}}{2}$”，其中母线是侧壁的斜线长度。因此我们可以计算出：$$L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{厘米}$$

现在，底面周长 $C = 2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi\text{厘米}$

侧面积 $A = \frac{1}{2}CL = \frac{1}{2} \times 6\pi \times 5 = 15\pi \text{厘米}^2 $

#### 第二部分：侧壁的长度

我们可以使用勾股定理计算斜边 $L$ 的长度。因此：$$ L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{厘米} $$ 接下来，我们可以使用勾股定理计算斜边 $L$ 的长度。因此：$$ L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{厘米} $$ 将此值与底面周长相乘，我们可以计算出侧壁的长度。因此：$$ P = L \times C = 5 \times 6\pi = 30\pi\text{厘米} $$

#### 第三部分：表面积

表面积等于侧面积加上圆锥面积，其中圆锥面积等于“$\pi r l$”，其中 $l$ 是斜面的长度。因此，我们可以计算出：$$ A = A_{底} + A_{侧} + A_{锥} $$ 底面积 $A_{底} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi\text{厘米}^2$

侧面积 $A_{侧} = 15\pi\text{厘米}^2 $

圆锥面积$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{厘米}$

圆锥面积$A_{锥} = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi $

因此，表面积 $A = 9\pi + 15\pi + 15\pi = 39\pi\text{厘米}^2$

#### 第四部分：体积

角锥的体积等于“$\frac{1}{3} \pi r^2 h$”，因此：$$ V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi\text{厘米}^3 $$

### 2. 在一个长方形花园的中心花坛中，有一个圆形草坪，其直径为 28 米。一个人走遍了整个花园的边缘，发现它的长度是 200 米。

设花园的长度和宽度分别为 $l$ 厘米和 $w$ 厘米，该花坛的半径为 $r$ 米。

#### 第一步：寻找直径和半径

我们知道圆的周长等于 $2\pi r$。因此，在周长 $200\text{米}$ 的情况下，我们可以计算出花园周长的一半：$$ \frac{200 \text{ 米}}{2} = 100 \text{ 米} = l + w + 2\pi r $$ 长和宽之和 $l+w$ 等于 $100\text{米}$ 减去两个相邻的曲线长度 $2\pi r$。因此：$$ l+w=100-2\pi r $$ 看起来我们还需要半径 $r$ 的值。

我们知道圆的半径等于直径的一半，因此：$$ r = \frac{28}{2} = 14\text{米} $$

#### 第二步：计算长度和宽度

现在我们可以将半径的值 $r$ 插入到我们的公式中：$$ l+w=100-2\pi r = 100-2\pi \times 14 = 28.27\text{米} $$ 由于我们的答案应该以米为单位，因此我们应该保留两个数字，得到：$$ l+w=28.27\text{ 米} $$

现在，我们知道了长度和宽度之和，以及它们之间的差异。因此，我们可以将这些值相减，以找到它们的值：$$ l-w=28.27-2 \times 14 = 0.27\text{ 米} $$ 由于宽度小于长度，因此我们可以将宽度设为 $w = 0.135\text{ 米}$。因此，长度为 $l = w+0.27\text{米} = 0.405\text{ 米}$。

因此，花园的长度和宽度分别为 $l = 0.405 \text{ 米}$ 和 $w = 0.135\text{ 米}$。

### 3. 一个铁球的半径是 10.5 厘米。该球由四个部分组成，第一部分是一个球形，第二部分是一个圆柱形，第三部分是一个锥形，第四部分是半个球形。大球的直径是多少？同时，求这四个部分的表面积。

#### 第一步：计算直径

我们知道矩形的直径等于半径的两倍，因此，我们可以使用半径 $r=10.5$ 厘米计算出直径 $D$：$$ D = 2r = 2 \times 10.5 = 21\text{厘米} $$

#### 第二步：计算表面积

为了计算这四个部分的表面积，我们需要先计算出它们的相应半径和高度。$$ \text{表面积 (总)} = \text{表面积 (球)} + \text{表面积 (圆柱)} + \text{表面积 (锥形)} + \text{表面积 (半个球)} $$ 对于一个半径为 $r$ 的球，表面积等于“$4\pi r^2$”。因此，大球的表面积为：$$ A_{球} = 4\pi(10.5)^2 = 4\pi \times 110.25 = 441 \pi\text{ 厘米}^2 $$ 对于一个半径为 $r$，高度为 $h$ 的圆柱体，表面积等于“$2\pi rh + 2\pi r^2$”。因此，圆柱体的表面积为：$$ A_{圆柱} = 2\pi(10.5)(28) + 2\pi(10.5)^2 = 441\pi + 220.5\pi = 661.5\pi\text{ 厘米}^2 $$ 对于一个半径为 $r$，高度为 $h$ 的锥体，表面积等于“$\pi r l + \pi r^2$”，其中 $l$ 是斜面的长度。因此，我们需要先计算斜面的长度：$$ L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(10.5)^2 + (21)} = \sqrt{110.25 + 441} = \sqrt{551.25} = 23.48\text{ 厘米} $$ 将值代入公式：$$ A_{锥} = \pi(10.5)(23.48) + \pi(10.5)^2 = 269.94\pi + 110.25\pi = 380.19\pi\text{ 厘米}^2 $$

最后，半个球的表面积等于“$2\pi r^2$”，因此，半个球的表面积为：$$ A_{半球} = 2\pi(10.5)^2 = 220.5 \pi\text{ 厘米}^2 $$

将以上四个值相加，可以得到大球的表面积：$$ A_{大球} = 441 \pi + 661.5 \pi + 380.19 \pi + 220.5 \pi = 1703.19 \pi\text{ 厘米}^2 $$

因此，大球的表面积为约 $5365.48$ 平方厘米（保留一个有效数字）。