📅  最后修改于: 2020-11-25 05:29:50             🧑  作者: Mango
时域中两个信号的卷积等效于它们在频域中的表示乘积。数学上,我们可以将两个信号的卷积写为
$$ y(t)= x_ {1}(t)* x_ {2}(t)$$ $$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}(p).x_ {2 }(tp)dp $$
让我们对阶跃信号u(t)进行自己的卷积。
$ y(t)= u(t)* u(t)$
$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [u(p).u [-(pt)] dp $
现在,该t可以大于或小于零,如下图所示
因此,在上述情况下,结果具有以下可能性
$ y(t)= \ begin {cases} 0,且if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt,&for \ quad t> 0 \ end {cases} $
$ = \ begin {cases} 0,&if \ quad t <0 \\ t,&t> 0 \ end {cases} = r(t)$
它指出卷积的顺序无关紧要,可以用数学表示为
$$ x_ {1}(t)* x_ {2}(t)= x_ {2}(t)* x_ {1}(t)$$
它指出涉及三个信号的卷积顺序可以是任何东西。数学上可以表示为
$$ x_ {1}(t)* [x_ {2}(t)* x_ {3}(t)] = [x_ {1}(t)* x_ {2}(t)] * x_ {3} (t)$$
可以先将两个信号相加,然后再对第三个信号进行卷积。这等效于将两个信号分别与第三个信号进行卷积并最终相加。从数学上讲,可以写成:
$$ x_ {1}(t)* [x_ {2}(t)+ x_ {3}(t)] = [x_ {1}(t)* x_ {2}(t)+ x_ {1}( t)* x_ {3}(t)] $$
如果一个信号是两个信号卷积的结果,那么信号的面积就是这些单个信号的乘积。数学上可以这样写
如果$ y(t)= x_ {1} * x_ {2}(t)$
则y(t)的面积= x 1 (t)的面积X x 2 (t)的面积
如果将两个信号缩放到某个未知常数“ a”并进行卷积,则结果信号也将被卷积为相同的常数“ a”,并将除以该量,如下所示。
如果$ x_ {1}(t)* x_ {2}(t)= y(t)$
然后, $ x_ {1}(at)* x_ {2}(at)= \ frac {y(at)} {a},\ ne 0 $
假设信号y(t)是两个信号x1(t)和x2(t)卷积的结果。如果两个信号分别延迟了时间t1和t2,则合成信号y(t)将延迟(t1 + t2)。从数学上讲,它可以写成-
如果$ x_ {1}(t)* x_ {2}(t)= y(t)$
然后, $ x_ {1}(t-t_ {1})* x_ {2}(t-t_ {2})= y [t-(t_ {1} + t_ {2})] $
示例1-求出信号u(t-1)和u(t-2)的卷积。
解决方案-给定的信号是u(t-1)和u(t-2)。它们的卷积可以如下所示进行-
$ y(t)= u(t-1)* u(t-2)$
$ y(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} [u(t-1).u(t-2)] dt $
$ = r(t-1)+ r(t-2)$
$ = r(t-3)$
示例2-找到两个信号的卷积
$ x_ {1}(n)= \ lbrace 3,-2,2 \ rbrace $
$ x_ {2}(n)= \ begin {cases} 2,&0 \ leq n \ leq 4 \\ 0,&x>其他位置\ end {cases} $
解决方案–
x 2 (n)可以解码为$ x_ {2}(n)= \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $
x 1 (n)先前已给定$ = \ lbrace 3,-2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} $
同样, $ x_ {2}(z)= 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} + 2Z ^ {-3} + 2Z ^ {-4} $
结果信号
$ X(Z)= X_ {1}(Z)X_ {2}(z)$
$ = \ lbrace 3-2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} + 2Z ^ {-3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $
$ = 6 + 2Z ^ {-1} + 6Z ^ {-2} + 6Z ^ {-3} + 6Z ^ {-4} + 6Z ^ {-5} $
取上述的逆Z变换,我们将得到的结果信号为
$ x(n)= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $第一个起点
示例3-确定以下2个信号的卷积-
$ x(n)= \ lbrace 2,1,0,1 \ rbrace $
$ h(n)= \ lbrace 1,2,3,1 \ rbrace $
解决方案–
取信号的Z变换,我们得到
$ x(z)= 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-3} $
并且$ h(n)= 1 + 2Z ^ {-1} + 3Z ^ {-2} + Z ^ {-3} $
现在两个信号的卷积意味着它们的Z变换相乘
那就是$ Y(Z)= X(Z)\ h(Z)$
$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {-1} + 3Z ^ {-2} + Z ^ {-3} \ rbrace $
$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {-1} + 8Z ^ {-2} + 6Z ^ {-3} + 3Z ^ {-4} + 3Z ^ {-5} + Z ^ {-6} \ rbrace $
取反Z变换,结果信号可写为:
$ y(n)= \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $