如果我们要分析一个已经在频域中表示为离散时间信号的系统，那么我们可以进行Z逆变换。

从数学上讲，它可以表示为：

$$ x(n)= Z ^ {-1} X(Z)$$

其中x(n)是时域的信号，X(Z)是频域的信号。

如果我们想以整数形式表示上述方程式，则可以写成

$$ x(n)=(\ frac {1} {2 \ Pi j})\ oint X(Z)Z ^ {-1} dz $$

在这里，积分位于闭合路径C上。该路径在x(z)的ROC内，并且确实包含原点。

查找反Z变换的方法

当需要以离散格式进行分析时，我们通过反Z变换将频域信号转换回离散格式。我们遵循以下四种方法来确定Z逆变换。

• 长除法
• 部分分数展开法
• 残差或轮廓积分法

长除法

在这种方法中，信号x(z)的Z变换可以表示为多项式的比率，如下所示；

$$ x(z)= N(Z)/ D(Z)$$

现在，如果继续用分子除以分母，那么我们将得到一个序列，如下所示

$$ X(z)= x(0)+ x(1)Z ^ {-1} + x(2)Z ^ {-2} + … \ quad … \ quad … $$

上面的序列表示给定信号的Z逆变换序列(对于n≥0)，并且上面的系统是因果关系的。

但是对于n <0，该序列可以写为；

$$ x(z)= x(-1)Z ^ 1 + x(-2)Z ^ 2 + x(-3)Z ^ 3 + … \ quad … \ quad … $$

部分分数展开法

在此，信号也首先以N(z)/ D(z)形式表示。

如果它是有理数，它将表示如下：

$ x(z)= b_0 + b_1Z ^ {-1} + b_2Z ^ {-2} + … \ quad … \ quad … + b_mZ ^ {-m})/(a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {-2} + … \ quad … \ quad … + a_nZ ^ {-N})$

当m

如果比例不合适(即不合适)，那么我们必须将其转换为合适的形式来解决。

残差或轮廓积分法

在这种方法中，我们通过对所有极点的残差$ [x(z)Z ^ {n-1}] $求和来获得Z逆变换x(n)。从数学上讲，这可以表示为

$$ x(n)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {all \ quad poles \ quad X(z)}残基\ [x(z)Z ^ {n-1}] $ quad

在这里，阶为m的任意极点在$ z = \ beta $处的残差为

$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)！} \ lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta)^ mX(z)Z ^ {n-1} \ rbrace $$