让我们采用两个有限时长序列x ₁ (n)和x ₂ (n)，其整数长度为N。它们的DFT分别为X ₁ (K)和X ₂ (K)，如下所示-

$$ X_1(K)= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1(n)e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2。 .N-1 $$ $$ X_2(K)= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2(n)e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 ，1,2 … N-1 $$

现在，我们将尝试查找另一个序列x ₃ (n)的DFT，其值为X ₃ (K)

$ X_3(K)= X_1(K)\ X X_2(K)$

通过上面的IDFT，我们得到

$ x_3(n)= \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} X_3(K)e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $

求解完上面的等式后，我们得到

$ x_3(n)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {N-1} x_1(m)x_2 [(((nm))_ N] \ quad m = 0,1,2 … N- 1元

圆卷积方法

通常，有两种方法可以用来执行圆形卷积，它们是-

• 同心圆法
• 矩阵乘法法。

同心圆法

令$ x_1(n)$和$ x_2(n)$为两个给定序列。 $ x_1(n)$和$ x_2(n)$的循环卷积所遵循的步骤是

• 取两个同心圆。在外圆的圆周上沿逆时针方向绘制$ x_1(n)$的N个样本(保持相等距离的连续点)。

• 为了绘制$ x_2(n)$，在内圈上按顺时针方向绘制N个$ x_2(n)$样本，起始样本与$ x_1(n)$的^第0^个样本放置在同一点

• 将两个圆上的对应样本相乘，然后相加即可得到输出。

• 一次逆时针旋转内圈一次。

矩阵相乘法

矩阵方法表示矩阵形式的两个给定序列$ x_1(n)$和$ x_2(n)$。

• 一次通过一个样本的循环移位重复给定序列之一，以形成一个NXN矩阵。

• 另一个序列表示为列矩阵。

• 两个矩阵相乘得出圆卷积的结果。