具有系统函数的系统只有在所有极都位于单位圆内时才能稳定。首先，我们检查系统是否为因果关系。如果系统是因果的，那么我们去确定其BIBO稳定性；其中BIBO稳定性是指有界输出条件的有界输入。

可以写成

$ Mod(X(Z))<\ infty $

$ = Mod(\ sum x(n)Z ^ {-n})<\ infty $

$ = \ sum Mod(x(n)Z ^ {-n})<\ infty $

$ = \ sum Mod [x(n)(re ^ {jw})^ {-n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x(n)r ^ {-n}] Mod [e ^ {-jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod [x(n)r ^ {-n}] <\ infty $

上式表示存在Z变换的条件。

但是，存在DTFT信号的条件是

$$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod(x(n)<\ infty $$

例子1

让我们尝试找出信号的Z变换，其形式为

$ x(n)=-(-0.5)^ {-n} u(-n)+ 3 ^ nu(n)$

$ =-(-2)^ nu(n)+ 3 ^ nu(n)$

解决方案-在这里，对于$-(-2)^ nu(n)$，ROC为左侧且Z <2

对于$ 3 ^ nu(n)$ ROC在右边并且Z> 3

因此，这里将不存在信号的Z变换，因为没有公共区域。

例子2

让我们尝试找出由给出的信号的Z变换

$ x(n)= -2 ^ nu(-n-1)+(0.5)^ nu(n)$

解决方案-在这里，对于$ -2 ^ nu(-n-1)$，信号的ROC为左侧且Z <2

对于信号$(0.5)^ nu(n)$ ROC在右侧且Z> 0.5

因此，普通ROC形成为0.5

因此，Z变换可以写为：

$ X(Z)= \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {-1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z)^ {-1}} \ rbrace $

例子3

让我们尝试找出信号的Z变换，即$ x(n)= 2 ^ {r(n)} $

解-r(n)是斜坡信号。因此信号可以写为：

$ x(n)= 2 ^ {nu(n)} \ lbrace 1，n <0(u(n)= 0)\ quad和\ quad2 ^ n，n \ geq 0(u(n)= 1)\ rbrace $

$ = u(-n-1)+ 2 ^ nu(n)$

在这里，对于信号$ u(-n-1)$和ROC Z <1，对于$ 2 ^ nu(n)$，ROC为Z> 2。

因此，信号的Z转换将不存在。

因果系统的Z变换

因果系统可以定义为$ h(n)= 0，n <0 $。对于因果系统，ROC将位于Z平面的圆之外。

$ H(Z)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} h(n)Z ^ {-n} $

扩展上面的方程，

$ H(Z)= h(0)+ h(1)Z ^ {-1} + h(2)Z ^ {-2} + … \ quad … \ quad … $

$ = N(Z)/ D(Z)$

对于因果系统，传递函数的扩展不包括Z的正幂。对于因果系统，分子的阶数不能超过分母的阶数。这可以写成-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H(Z)= h(0)= 0 \ quad或\ quad Finite $

为了使因果系统稳定，传递函数的极点应位于Z平面的单位圆内。

Z因果反变换

可以将反因果系统定义为$ h(n)= 0，n \ geq 0 $。对于反因果系统，传递函数的极点应位于Z平面的单位圆之外。对于反因果系统，ROC将位于Z平面的圆内。