📅 最后修改于: 2020-11-25 05:33:56 🧑 作者: Mango
离散时间傅立叶变换(DTFT)用于能量和功率信号。 Z变换在能量或功率(NENP)类型的信号中也均不存在，仅在一定程度上存在。替换$ z = e ^ {jw} $仅用于绝对可加信号的Z转换为DTFT转换。
因此，幂级数中离散时间信号x(n)的Z变换可以写成-
$$ X(z)= \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x(n)Z ^ {-n} $$
上面的方程式表示一个双向Z变换方程式。
通常，当信号经过Z转换时，可以表示为-
$$ X(Z)= Z [x(n)] $$
或$ x(n)\ longleftrightarrow X(Z)$
如果是连续时间信号，则不需要Z变换，因为使用了Laplace变换。但是，离散时间信号只能通过Z变换进行分析。
收敛区域是Z平面中复变量Z的范围。信号的Z变换是有限的或收敛的。因此，ROC代表Z(X)具有有限值的Z值集合。
Z变换的独特之处在于-
| x(n) | X(Z) | ROC |
|---|---|---|
| $\delta(n)$ | $1$ | Entire Z plane |
| $U(n)$ | $1/(1-Z^{-1})$ | Mod(Z)>1 |
| $a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | Mod(Z)>Mod(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | Mod(Z) |
| $na^nu(n)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | Mod(Z)>Mod(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | Mod(Z) |
| $U(n)\cos \omega n$ | $(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod(Z)>1 |
| $U(n)\sin \omega n$ | $(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod(Z)>1 |
让我们找到给定为$ x(n)= \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $的信号的Z变换和ROC，其中该序列的起点为3。
解决方案-应用公式我们有-
$ X(z)= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x(n)Z ^ {-n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x(n)Z ^ {-n} $
$ = x(-1)Z + x(0)+ x(1)Z ^ {-1} + x(2)Z ^ {-2} + x(3)Z ^ {-3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {-1} + 9Z ^ {-2} + 5Z ^ {-3} $
ROC是整个Z平面，不包括Z = 0，∞，-∞