例子1

验证序列$ x(n)= \ frac {1 ^ n} {4} u(n)$的Parseval定理

解决方案– $ \ displaystyle \ sum \ limits _ {-\ infty} ^ \ infty | x_1(n)| ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega})| ^ 2d \ omega $

LHS $ \ displaystyle \ sum \ limits _ {-\ infty} ^ \ infty | x_1(n)| ^ 2 $

$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(n)x ^ *(n)$

$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ {-\ infty} ^ \ infty(\ frac {1} {4})^ {2n} u(n)= \ frac {1} {1- \ frac {1} {16 }} = \ frac {16} {15} $

RHS $ X(e ^ {j \ omega})= \ frac {1} {1- \ frac {1} {4} ej \ omega} = \ frac {1} {1-0.25 \ cos \ omega + j0。 25 \ sin \ omega} $

$ \ Longleftrightarrow X ^ *(e ^ {j \ omega})= \ frac {1} {1-0.25 \ cos \ omega-j0.25 \ sin \ omega} $

计算$ X(e ^ {j \ omega})。X ^ *(e ^ {j \ omega})$

$ = \ frac {1} {(1-0.25 \ cos \ omega)^ 2 +(0.25 \ sin \ omega)^ 2} = \ frac {1} {1.0625-0.5 \ cos \ omega} $

$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} \ frac {1} {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega $

$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} \ frac {1} {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega = 16/15 $

我们可以看到，LHS = RHS。 (因此证明)

例子2

计算$ x(n)= 3 \ delta(n)$的N点DFT

解决方案-我们知道，

$ X(K)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $

$ = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} 3 \ delta(n)e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $

$ = 3 \ delta(0)\ times e ^ 0 = 1 $

因此， $ x(k)= 3,0 \ leq k \ leq N-1 $ …Ans。

例子3

计算$ x(n)= 7(n-n_0)$的N点DFT

解决方案-我们知道，

$ X(K)= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x(n)e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $

代入x(n)的值，

$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} 7 \ delta(n-n_0)e ^ {-\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $

$ = e ^ {-kj14 \ Pi kn_0 / N} $ …Ans