部分有序集

考虑满足以下属性的集合S上的关系R：

• R是自反的，即每x∈S有xRx。
• R是反对称的，即，如果xRy和yRx，则x = y。
• R是可传递的，即xRy和yRz，然后是xRz。

然后，R被称为偏序关系，集合S与偏序一起被称为偏序集或POSET，并由(S，≤)表示。

例：

• 自然数的集合N在关系“≤''下形成一个球状体，因为首先x≤x，其次，如果x≤y和y≤x，则我们有x = y，最后如果x≤y和y≤z，则意味着对于所有x，y，z∈N，x≤z。
• 在除数下的自然数集N(即“ x除以y”)构成了一个位姿，因为每个x∈N都有x / x。同样，如果x / y和y / x，则x = y。同样，如果x / y，y / z为每个x，y，z∈N，则有x / z。
• 考虑集合S = {1，2}，S的幂集为P(S)。集包含inclusion的关系是偏序。由于对于P(S)中的任何集合A，B，C，首先我们有A⊆A，其次，如果A⊆B和B⊆A，则我们有A =B。 C，然后A⊆C。因此，(P(S)，⊆)是一个姿态。

POSET的元素：

• 最大元素：如果a中c中没有元素使得a≤c，则元素a∈A称为A的最大元素。
• 最小元素：如果在c中没有元素使得c≤b，则元素b∈A称为A的最小元素。

注意：可以有一个以上的最大元素或一个以上的最小元素。

示例：确定其Hasse图如图所示的位姿的所有最大和最小元素：

解决方案：最大元素是b和f。

最小元素是d和e。

可比元素：

考虑一个有序集合A。如果满足以下条件，则将集合A的两个元素a和b称为可比较元素

a≤b或b≤a
p="" r<="">

不可比较的元素：

考虑一个有序的集合A。如果a≤b或b≤a都不叫集合A的两个元素a和b。

示例：考虑A = {1,2,3,5,6,10,15,30}按除数排序。确定A的所有可比较和不可比较的元素对。

解决方案：A的可比较元素对是：
{1，2}，{1，3}，{1，5}，{1，6}，{1，10}，{1，15}，{1，30}
{2，6}，{2，10}，{2，30}
{3，6}，{3，15}，{3，30}
{5，10}，{5，15}，{5，30}
{6，30}，{10，30}，{15，30}

A的不可比较的元素对是：
p="" {2，3}，{2，5}，{2，15}
="" {3，5}，{3，10}，{5，6}，{6，10}，{6，15}，{10，15}<="">

线性有序集：

考虑一个有序集合A。如果A中的每对元素都是可比较的，则集合A称为线性有序集合或全有序集合。

示例：通常阶数≤的正整数I ₊的集合是线性有序集合。