三角形内角和定理

三角形内角和定理是初中数学中比较基础的知识点，指的是一个三角形的三个内角的和为180度。本文将结合这一定理证明另一个三角函数的恒等式。

定理

如果 $A$、$B$ 和 $C$ 是三角形 $ABC$ 的内角，则 $A+B+C=180^\circ$。

证明

由于三角形三个内角的和为 $180^\circ$，因此有：

$$A+B+C=180^\circ$$

移项得：

$$A+C=180^\circ-B$$

将等式两边同时除以2，得到：

$$\frac{A+C}{2}=90^\circ-\frac{B}{2}$$

同时应用三角函数的半角公式 $\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$，得到：

$$\cos^2\frac{B}{2}=\frac{1+\cos(B)}{2}$$

即：

$$\cos(B)=1-2\cos^2\frac{B}{2}$$

将其代入最初的等式中，得到：

$$\begin{aligned}\sin[(B+C)/2] &= \sin[(180^\circ-A)/2] \ &= \cos(A/2)\end{aligned}$$

再次应用三角函数的半角公式 $\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$，得到：

$$\sin(B/2)\cos(C/2)+\cos(B/2)\sin(C/2)=\sqrt{\frac{1-\cos(B)}{2}}\sqrt{\frac{1+\cos(C)}{2}} + \sqrt{\frac{1+\cos(B)}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos(C)}{2}}$$

将之化简可得：

$$\begin{aligned}\sin(B+C) &= 2\sin(B/2)\cos(C/2) + 2\cos(B/2)\sin(C/2) \ &= 2\sin(B/2+\frac{\pi}{2})\cos(C/2+\frac{\pi}{2}) \ &= 2\cos(B/2)\sin(C/2) \ &= \sqrt{1-\cos^2(B/2)}\sqrt{1-\cos^2(C/2)}-\cos(B/2)\cos(C/2)\end{aligned}$$

再次应用三角函数的半角公式 $\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$，得到：

$$\sin(B+C) = 2\sqrt{\frac{1-\cos(B)}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos(C)}{2}} - \cos(B)\cos(C)$$

代入复合角 $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$，得到：

$$\sin(2(B+C)) = 2\sqrt{\frac{1-\cos(B)}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos(C)}{2}} - 2\cos(B)\cos(C)$$

将等式两边同时除以2，得到：

$$\sin[(B+C)2] = \sqrt{\frac{1-\cos(B)}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos(C)}{2}} - \cos(B)\cos(C)$$

继续应用三角函数的半角公式 $\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$，得到：

$$\cos^2\frac{B}{2}\cos^2\frac{C}{2} = \frac{(1-\cos(B))(1-\cos(C))}{4} - \frac{\cos(B)\cos(C)}{2}$$

将等式两边同时乘4，并化简，得到：

$$\cos(B)\cos(C) = 2\cos^2\frac{B}{2}\cos^2\frac{C}{2} - 2\cos^2\frac{B}{2}-2\cos^2\frac{C}{2}+1$$

将等式两边同时除以2，得到：

$$\cos(B)\cos(C) -1= 2\cos^2\frac{B}{2}\cos^2\frac{C}{2} - \cos^2\frac{B}{2}-\cos^2\frac{C}{2}$$

将等式两边同时加1，得到：

$$\cos(B)\cos(C) = 2\cos^2\frac{B}{2}\cos^2\frac{C}{2} - \cos^2\frac{B}{2}-\cos^2\frac{C}{2}+1$$

代入 $\cos^2\frac{\theta}{2}=1-\sin^2\frac{\theta}{2}$，得到：

$$\cos(B)\cos(C) = 2(1-\sin^2\frac{B}{2})(1-\sin^2\frac{C}{2}) - (1-\sin^2\frac{B}{2})-(1-\sin^2\frac{C}{2})+1$$

展开化简，得到：

$$\cos(B)\cos(C) = 2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}+2\sin^2\frac{B}{2}+2\sin^2\frac{C}{2}-3$$

代入 $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$，得到：

$$\cos(B)\cos(C) = 4\cos^4\frac{B}{2}\cos^4\frac{C}{2}+4\cos^4\frac{B}{2}+4\cos^4\frac{C}{2}-7$$

将上述等式代入刚才得到的 $\sin(2(B+C))$，得到：

$$\sin[(B+C)2] = 2\sqrt{\frac{1-\cos(B)}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos(C)}{2}} - 2\cos(B)\cos(C)$$$$=2\sqrt{2\cos^2(\frac{B}{2})\cdot2\cos^2(\frac{C}{2})-2\cos^2(\frac{B}{2})-2\cos^2(\frac{C}{2})+1}-4\cos^4(\frac{B}{2})-4\cos^4(\frac{C}{2})+7$$$$=\cos^2(A)$$

因此得证：$\sin[(B+C)2] = \cos^2(A2)$。