非齐次泊松过程

非齐次泊松过程模型 ( NHPP ) 表示在时间t 之前经历的故障数量是非齐次泊松过程 {N(t), t ≥ 0}。

NHPP 模型中的主要问题是确定一个合适的平均值函数来表示在特定时间内经历的预期故障次数。
在不同的假设下，模型最终会得到不同函数形式的均值函数。请注意，在更新过程中，放宽了故障间隔时间的指数假设，而在 NHPP 中，放宽了平稳假设。

非齐次 Poisson 过程模型基于以下假设：

–>The failure process has an independent increment, i.e. the number of failures during the time interval (t, t + s) depends on the current time t and the length of time interval s, and does not depend on the past history of the process.

–> The failure rate of the process is given by P{exactly one failure in (t, t + ∆t)} = P{N(t, t + ∆t) – N(t)=1} = $\lambda$(t)∆t + o(∆t) where $\lambda$(t) is the intensity function.

–> During a small interval ∆t, the probability of more than one failure is negligible, that is, P{two or more failure in (t, t+∆t)} = o(∆t)

–> The initial condition is N(0) = 0.

在这些假设的基础上，NHPP 在时间间隔 (0, t) 内恰好发生 n 次故障的概率由下式给出
$Pr\begin{Bmatrix}N(t)=n\end{Bmatrix} = \frac{[m(t)]^{n}}{n!}e^{-m(t)}$

在哪里$m(t)=E[N(t)]=\int_{0}^{t}\lambda \left ( s\right )ds$和$\lambda (t)$是强度函数。可以很容易地证明平均值函数m(t) 是非递减的。

可靠性函数：
可靠性 R(t)，定义为在时间间隔 (0, t) 内没有故障的概率，由下式给出
$R(t) = P\left \{ N(t)=0 \right \} = e^{-m(t)}$

一般而言，可靠性 R(x|t)，即区间 (t, t + x) 内没有故障的概率，由下式给出

$R(x|t)=P\left \{ N(t+x)-N(t)=0 \right \} = e^{-[m(t+x)-m(t)]}$

它的密度由下式给出
$f(x)=\lambda (t+x)e^{-[m(t+x)-m(t)]}$
在哪里$\lambda (x)=\frac{\partial [m(x)]}{\partial x}$

NHPP 的方差可以通过以下方式获得：

$Var[N(t)]=\int_{0}^{t}\lambda (s)ds$