齐次泊松过程

泊松过程是概率论中最重要和应用最广泛的过程之一。它广泛用于对时间或空间中的随机点进行建模。在本文中，我们将简要讨论齐次泊松过程。

泊松过程 –
在这里，我们将泊松过程推导为计数过程。让我们假设我们正在观察特定事件在指定时间段内的发生次数。（这里我们以时间为例。我们也可以考虑空间等）如果它们满足以下条件，我们可以将它们视为在泊松过程下发生。

在不相交的时间间隔内发生的次数是独立的。
在很小的时间间隔内单次发生的概率与间隔的长度成正比。
在很小的时间间隔内不止一次发生的概率可以忽略不计。

如果我们将长度为 t 的时间间隔内的出现次数表示为 X(t)，那么
$P(X(t)=n) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}$

例子 -
许多现实生活中的情况都可以使用泊松过程进行建模。假设我们考虑道路上的事故数量。我们可以很容易地理解，满足上述三个条件。对于两个不相交的时间间隔，给定道路上的事故数量是独立的，同样，在很小的时间间隔内发生两次或更多事故的可能性很小。直观地说，我们还可以假设在一小段时间发生事故的概率与时间段的长度成正比。一个地方的地震次数也可以使用泊松过程建模。

推导——
现在我们证明我们的主张，如果 X(t) 是在长度为 t 的区间内出现的次数，那么
$P(X(t)=n) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}$
在哪里 $\lambda$ 是发生率。

我们将使用数学归纳法来证明这个陈述。首先，我们用数学术语写出上面写的假设。根据假设 3 在小时间间隔 h
$P(X(h) >1) = o(h)$
在哪里 $\frac{o(h)}{h}$ 当 h 趋于零时趋于零或
$1-P(X(h)=0) -P(X(h)=1) = o(h)$ .
再次如果 $\lambda$ 是发生率然后根据假设2我们得到，
$P(X(h)=1) =\lambda h$ .

让我们取一个区间 (0, t) 和一个小区间 (t, t+h)。我们将 P(X(t)=n) 表示为 $P_n(t)$ .所以上面的方程可以写成，
$1-P_0(h) -P_1(h) = o(h)$
或者
$P_0(h) = 1-\lambda h -o(h)$

所以我们要证明
$P_n(t) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}$ .
首先，我们将证明 n=0 和 n=1 的结果。然后我们将证明，如果 n=m 的结果为真，那么 n=m+1 的结果也为真。

取区间 (0, t+h)。现在，
$P_0(t+h)=P_0(t)P_0(h)$
（因为区间 (0, t) 和 (t, t+h) 中的出现是独立的）或 ,
$P_0(t+h) = P_0(t)(1-\lambda (h) -o(h)$ 或者 $\frac{P_0(t+h)-P_0(t)}{h} = -\lambda P_0(t) -\frac{o(h)}{h}$ .

当 h 趋于零时，我们得到限制，
$P_{0}'(t) =- \lambda P_0(t).$ .
上述微分方程的解为，
$P_0(t)=ce^{-\lambda t}$ ,
取初始条件 $P_0(0)=1$ 我们评估 c=0。因此，
$P_0(t)=e^{- \lambda t}$ ，所以我们的主张对于 n=0 是正确的。

现在我们尝试证明 n=1。
$P_1(t+h)=P_1(t)P_0(h) + P_0(t)P_1(h)$
（我们使用的事实是，发生必须在区间 (0, t) 和 (t, t+h) 中的任一个内），或者
$P_1(t+h) =P_1(t)(1-\lambda h-o(h))+ e^{-\lambda t}(\lambda h)$ ,
或者
$\frac{P_1(t+h) -P_1(t)}{h}= -\lambda P_1(t) - \lambda e^{-\lambda t}- \frac{o(h)}{h}$ .

再次取极限，因为 h 趋于零，
$P_{1}'(t)=-\lambda P_1(t) - \lambda e^{-\lambda t}$ .
这是一阶线性微分方程，解是，
$P_1(t)=\lambda t e^{-\lambda t}+c_1$
在哪里 $c_1$ 是一个常数。自从， $P_1(0)=0$ .我们得到，
$c_1=0$ .因此 $P_1(t)=\lambda t e^{-\lambda t}$ ，或者 $P_1(t)=\frac{(\lambda t)^1 e^{-\lambda t}}{1!}$ .
所以我们的主张对于 n=1 是正确的。我们假设我们的主张对于 n=m 是正确的。

我们将证明 n=m+1 是正确的。所以，
$P_{m+1}(t+h) =P_{m+1}(t)P_0(h) +P_m(t)P_1(h) +\sum_{j=1}^m {P_{m-j}(t)P_{j+1}(h)}$ ,
（我们假设 m+1 次出现可以以不同的方式发生，例如在 (0, t) 中出现 m+1 次而在 (t, t+h) 中不出现或在 (0, t) 和 1 中出现 m 次。在 (t, t+h) 中，或在 (0, t) 中出现 mj 次，在 (t, t+h) 中出现 j+1 次，对于 j=1 到 m)。所以，
$P_{m+1}(t+h) =P_{m+1}(t)(1-\lambda h-o(h)) + \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^m}{m!}\lambda h +\sum_{j=1}^m P_{m-j}(t)o(h)$
自从，
$P_{j+1}(h)=o(h)$ 对于 j>=1。
或者，
$\frac{P_{m+1}(t+h)-P_{m+1}(t)}{h}=-\lambda P_{m+1}(t)+\frac{{\lambda}^{m+1}t^m}{m!}e^{-\lambda t}+\frac{o(h)}{h}\sum_{j=1}^{m}P_{m-j}(t)-\frac{o_(h)}{h}P_{m+!}(t)$

当 h 变为零时，我们有限制，
$P'_{m+1}(t)=-\lambda P_{m+1}(t) + \frac{{\lambda}^{m+1}t^m}{m!}e^{-\lambda t}$ .
这又是一个一阶微分方程，其解为
$P_{m+1}(t)=\frac{(\lambda t)^{m+1}e^{-\lambda t}}{(m+1)!}+c_2$ .
如果 e 假设 $P_{m+1}(0)=1$ 我们得到 $c_2=0$ .

所以最后的结果是，
$P_{m+1}(t)=\frac{(\lambda t)^{m+1}e^{-\lambda t}}{(m+1)!}$ .
因此结果得到证明。

因此，我们得出了 no 的 pmf。泊松过程中的出现次数，它是带有参数的泊松分布 $\lambda$ .现在如果这 $\lambda$ 是时间的函数，我们称这个过程为非齐次泊松过程。