题目介绍

本题为门 | 门 CS 1999第43题，属于数据结构与算法分类，难度为中等。

题目描述

有一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，边权均为正整数。定义点 $i$ 的度数为该点的入度与出度之和，求度数最小的点，若有多个，输出点标号最小的那个。

输入格式

• 第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$，表示图中点和边的数量。
• 接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x_i$, $y_i$ 和 $z_i$，表示存在一条从 $x_i$ 到 $y_i$ 权值为 $z_i$ 的有向边。

输出格式

• 输出最小度数的点的标号，如果有多个，输出点标号最小的那个。

输入样例

4 5
1 2 2
1 3 5
2 3 1
3 1 2
3 4 5

输出样例

3

题目思路

本题需要求解的是度数最小的点，因此我们需要统计每个点的度数，并求出最小的度数。

不难想到，对于每个点，我们可以分别计算它的入度和出度，最后将两者之和求出即可得到该点的度数。

统计出度简单，只需使用邻接表存储图，遍历每个节点的出边即可。统计入度相对比较麻烦，需要对每个节点的所有出边进行遍历，找出对应的终点节点，并统计其入度。

在求完每个点的度数后，只需遍历所有点并找出最小度数即可，注意输出标号最小的那个。

代码实现

实现上述思路，我们可以先定义一个用于存储邻接表的结构体，并封装辅助函数来进行入度和度数的计算。最终算法的伪代码如下：

struct Node {
    int v, w;
    Node *next;
};

// 存储邻接表的结构体
struct Graph {
    int n, m;
    Node *heads;    // 存储每个节点的邻接表头
};

// 辅助函数：计算指定节点的出度
int out_deg(Graph &g, int v) {
    int ans = 0;
    for (Node *p = g.heads[v].next; p != nullptr; p = p->next)
        ans++;
    return ans;
}

// 辅助函数：计算指定节点的入度
int in_deg(Graph &g, int v) {
    int ans = 0;
    for (int u = 1; u <= g.n; u++) {
        for (Node *p = g.heads[u].next; p != nullptr; p = p->next) {
            if (p->v == v) {
                ans++;
                break;
            }
        }
    }
    return ans;
}

// 主函数
int main() {
    Graph g;
    // 读入图，初始化邻接表等
    for (int i = 1; i <= g.n; i++) {
        int d = in_deg(g, i) + out_deg(g, i);
        if (d < min_deg) {
            ans = i;
            min_deg = d;
        } else if (d == min_deg && i < ans) {
            ans = i;
        }
    }
    // 输出结果
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，虽然在本题数据范围下可以通过，但仍有优化的空间。例如，我们可以使用邻接表和邻接矩阵结合的方式来进行入度的统计，从而将时间复杂度降为 $O(n^2)$。此外，我们也可以使用拓扑排序（BFS）来统计度数，进一步将时间复杂度降为 $O(n+m)$。

拓展思考

1. 本题还可以进一步扩展，如果要求度数最小的点中，离指定点最近的点应该怎么做？

答：我们可以先使用 BFS 遍历指定点所在的连通块，并记录每个点到指定点的距离。然后再遍历整张图，只考虑合法的点，即和指定点同处一个连通块的点，统计这些点的度数。在统计完度数之后，遍历所有度数最小的点，找到其中离指定点最近的点即可。

2. 本题用 C++ 实现的话，如何避免手动删除邻接表中的节点所带来的麻烦？

答：我们可以使用 C++11 的智能指针技术，将邻接表中的节点存储为 std::unique_ptr<Node> 类型，从而避免了手动释放内存的麻烦。

总结

本题主要考察对于有向图的建模及基础算法的掌握，例如邻接表的使用、度数的计算等。对于初学者而言，建议先学习邻接表、BFS 等基础算法，再考虑更高级的优化和扩展。在实际编码时，还需要注意细节，例如输出最小度数的那个节点时，需要按照题目要求返回标号最小的那个。