第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 16 章切线和法线 - 练习 16.2 | 设置 2

简介

这个解决方案是针对RD Sharma的数学教材的第16章中的练习16.2设置2的解决方案。该解决方案提供了针对每个问题的详细步骤和解决方案。这个解决方案对于那些正在学习高中数学并正在学习切线和法线的同学们尤其有用。

内容

该解决方案提供以下问题的解决方案：

1. 给定$f(x) = x^2 - 2x$和点$P(2, 0)$。画出曲线和点，并找到在点$P$处的切线的方程和法线的方程。
2. 给定$f(x) = \frac{x}{x-1}$和点$P(2, -2)$。画出曲线和点，并找到在点$P$处的切线的方程和法线的方程。
3. 给定$f(x) = \sqrt{3x + 1}$和点$P(0, 1)$。画出曲线和点，并找到在点$P$处的切线的方程和法线的方程。

问题 1

首先，让我们画出曲线和点：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义函数
def f(x):
    return x**2 - 2*x

# 生成x和y的值
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y = f(x)

# 绘制曲线和点
plt.plot(x, y)
plt.scatter(2, 0)

# 添加标签和标题
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('f(x) = x^2 - 2x and P(2, 0)')

# 显示图形
plt.show()

现在让我们找到在点$P$处的切线的方程和法线的方程。我们可以使用以下公式来找到切线的方程：

$$y - y_{1} = f'(x_{1}) \cdot (x - x_{1})$$

其中，$y_{1}$和$x_{1}$是点$P$的坐标，$f'(x)$是$f(x)$的导数，可以通过对$f(x)$求导来计算。

对$f(x) = x^2 - 2x$求导，我们得到$f'(x) = 2x - 2$。在点$P(2, 0)$处，$x_{1} = 2$，$y_{1} = 0$，$f'(x_{1}) = 2x_{1} - 2 = 2$。将这些值代入上述公式，我们得到切线的方程：

$$y - 0 = 2 \cdot (x - 2)$$

化简得到：

$$y = 2x - 4$$

现在让我们找到法线的方程。由于切线的斜率是2，因此法线的斜率是$-\frac{1}{2}$。所以法线的方程是：

$$y - 0 = -\frac{1}{2} \cdot (x - 2)$$

化简得到：

$$y = -\frac{1}{2}x + 1$$

因此，在点$P(2, 0)$处，切线的方程是$y = 2x - 4$，法线的方程是$y = -\frac{1}{2}x + 1$。

问题 2

首先，让我们画出曲线和点：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义函数
def f(x):
    return x / (x - 1)

# 生成x和y的值
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y = f(x)

# 绘制曲线和点
plt.plot(x, y)
plt.scatter(2, -2)

# 添加标签和标题
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('f(x) = x/(x-1) and P(2, -2)')

# 显示图形
plt.show()

现在让我们找到在点$P$处的切线的方程和法线的方程。与上一个问题的解决方案类似，我们可以使用以下公式来找到切线的方程：

$$y - y_{1} = f'(x_{1}) \cdot (x - x_{1})$$

对$f(x) = \frac{x}{x-1}$求导，我们得到$f'(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$。在点$P(2, -2)$处，$x_{1} = 2$，$y_{1} = -2$，$f'(x_{1}) = \frac{1}{(x_{1}-1)^2} = \frac{1}{1^2} = 1$。将这些值代入上述公式，我们得到切线的方程：

$$y - (-2) = 1 \cdot (x - 2)$$

化简得到：

$$y = x - 4$$

现在让我们找到法线的方程。由于切线的斜率是1，因此法线的斜率是$-1$。所以法线的方程是：

$$y - (-2) = -1 \cdot (x - 2)$$

化简得到：

$$y = -x$$

因此，在点$P(2, -2)$处，切线的方程是$y = x - 4$，法线的方程是$y = -x$。

问题 3

首先，让我们画出曲线和点：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义函数
def f(x):
    return np.sqrt(3*x + 1)

# 生成x和y的值
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y = f(x)

# 绘制曲线和点
plt.plot(x, y)
plt.scatter(0, 1)

# 添加标签和标题
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('f(x) = sqrt(3x+1) and P(0, 1)')

# 显示图形
plt.show()

现在让我们找到在点$P$处的切线的方程和法线的方程。同样，我们可以使用以下公式来找到切线的方程：

$$y - y_{1} = f'(x_{1}) \cdot (x - x_{1})$$

对$f(x) = \sqrt{3x + 1}$求导，我们得到$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$。在点$P(0, 1)$处，$x_{1} = 0$，$y_{1} = 1$，$f'(x_{1}) = \frac{3}{2\sqrt{3(0)+1}} = \frac{3}{2}$。将这些值代入上述公式，我们得到切线的方程：

$$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 0)$$

化简得到：

$$y = \frac{3}{2}x + 1$$

现在让我们找到法线的方程。由于切线的斜率是$\frac{3}{2}$，因此法线的斜率是$-\frac{2}{3}$。所以法线的方程是：

$$y - 1 = -\frac{2}{3} \cdot (x - 0)$$

化简得到：

$$y = -\frac{2}{3}x + 1$$

因此，在点$P(0, 1)$处，切线的方程是$y = \frac{3}{2}x + 1$，法线的方程是$y = -\frac{2}{3}x + 1$。

结论

本解决方案提供了RD Sharma数学教材第16章中练习16.2设置2的解决方案。该解决方案对于那些正在学习高中数学并正在学习切线和法线的同学们尤其有用。每个问题都有详细的步骤和解决方案，可以帮助学生加深对这些概念的理解。