算法测验 | SP2竞赛1 |第33章

本次算法测验为SP2竞赛1的第33章，其中包含了多种算法题目，是对程序员算法能力的一次综合考验。本文将为大家介绍本次测验的主要内容。

算法题目列表

本次测验共包含以下算法题目：

1. 最小生成树
2. 单源最短路径
3. 多源最短路径
4. 贪心法
5. 动态规划
6. 字符串匹配

最小生成树

最小生成树问题是指，在一个加权连通图中，找到一个生成树，使得树上所有边的权值之和最小。常见的算法有Prim（普里姆）算法和Kruskal（克鲁斯卡尔）算法。

以下为Prim算法的代码片段（Java实现）：

public void prim(int start) {
    PriorityQueue<Edge> pq = new PriorityQueue<Edge>();
    mark[start] = true;
    visit(start);
    for (Edge e : graph.edges(start)) {
        pq.offer(e);
    }

    while (!pq.isEmpty()) {
        Edge e = pq.poll();
        int v = e.either(), w = e.other(v);
        if (mark[v] && mark[w]) continue;
        mst.offer(e);
        if (!mark[v]) {
            visit(v);
            for (Edge x : graph.edges(v)) {
                pq.offer(x);
            }
        }
        if (!mark[w]) {
            visit(w);
            for (Edge x : graph.edges(w)) {
                pq.offer(x);
            }
        }
    }
}

单源最短路径

单源最短路径问题是指，在一个加权有向图中，找到从给定顶点v到所有其他顶点的最短路径。常见的算法有Dijkstra（狄杰斯特拉）算法和Bellman-Ford算法。

以下为Dijkstra算法的代码片段（C++实现）：

struct Edge {
    int from;
    int to;
    int dist;
    Edge(int u, int v, int d): from(u), to(v), dist(d) {}
};

struct HeapNode {
    int d;
    int u;
    HeapNode(int dist, int vertex): d(dist), u(vertex) {}
    bool operator < (const HeapNode &rhs) const {
        return d > rhs.d;
    }
};

void dijkstra(int s) {
    priority_queue<HeapNode> q;
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    memset(done, 0, sizeof(done));
    q.push(HeapNode(0, s));

    while (!q.empty()) {
        HeapNode x = q.top();
        q.pop();
        int u = x.u;
        if (done[u]) continue;
        done[u] = true;
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            Edge& e = edges[G[u][i]];
            if (d[e.to] > d[u] + e.dist) {
                d[e.to] = d[u] + e.dist;
                p[e.to] = G[u][i];
                q.push(HeapNode(d[e.to], e.to));
            }
        }
    }
}

多源最短路径

多源最短路径问题是指，在一个加权有向图中，找到任意两个节点之间的最短路径。常见的算法有Floyd（弗洛伊德）算法。

以下为Floyd算法的代码片段（Python实现）：

for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]:
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]

贪心法

贪心法的基本思路是每次选择当前最优的解决方案，局部最优的解决方案最终会导致全局最优的结果。贪心法常用于优化问题中，主要有以下几个步骤：

1. 建立数学模型
2. 将问题分解为局部最优子问题
3. 确定贪心策略
4. 证明贪心策略正确性
5. 实现算法，解决问题

以下为贪心法的代码片段（Java实现）：

public void knapsack(int weight[], int value[], int capacity) {
    int n = weight.length;
    double[] unitValue = new double[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        unitValue[i] = (double) value[i] / weight[i];
    }
    // 按单位价值排序
    int[] sortedIndex = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sortedIndex[i] = i;
    }
    Arrays.sort(sortedIndex, (o1, o2) -> Double.compare(unitValue[o2], unitValue[o1]));

    // 贪心选择
    int currentWeight = 0;
    for (int i = 0; i < n && currentWeight < capacity; i++) {
        int index = sortedIndex[i];
        int weightToAdd = Math.min(weight[index], capacity - currentWeight);
        currentValue += weightToAdd * unitValue[index];
        currentWeight += weightToAdd;
    }
}

动态规划

动态规划是一种常见的解决最优化问题的方法。其核心思想是将问题分解为更小的子问题，逐步求解，最终得到全局最优解（最优子结构性质）。动态规划算法通常涉及到两个关键步骤：

1. 建立状态转移方程
2. 以递推的方式计算状态值

以下为动态规划的代码片段（Python实现）：

def dynamic_programming(max_weight, weight, value):
    n = len(weight)
    # 状态数组
    dp = [[0] * (max_weight + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, max_weight + 1):
            if j >= weight[i - 1]:
                # 状态转移方程
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]

    return dp[n][max_weight]

字符串匹配

字符串匹配问题是指，在一个字符串集合中，查找出某个字符串的出现位置。常见的算法有KMP算法和Boyer-Moore算法。

以下为KMP算法的代码片段（C++实现）：

vector<int> getNext(string s) {
    int n = s.length();
    vector<int> next(n + 1, 0);
    int i = 0, j = -1;
    next[0] = -1;

    while (i < n) {
        if (j == -1 || s[i] == s[j]) {
            i++, j++;
            next[i] = j;
        } else {
            j = next[j];
        }
    }

    return next;
}

int kmp(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<int> next = getNext(t);

    int i = 0, j = 0;
    while (i < n && j < m) {
        if (j == -1 || s[i] == t[j]) {
            i++, j++;
        } else {
            j = next[j];
        }
    }

    if (j == m) return i - j;
    return -1;
}

以上就是本次算法测验的主要内容。希望大家能够通过本次测验，锻炼自己的算法能力，提升自己的技术水平。