第 10 类 NCERT 解决方案 - 第 2 章多项式 - 练习 2.1

本文介绍了《第 10 类 NCERT 解决方案 - 第 2 章多项式 - 练习 2.1》，这是一道涉及多项式基本概念的练习题。

题目描述

练习 2.1 有两部分:

1. 证明 $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$。
2. 如果 $a+b+c=0$，那么证明 $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$。

解决方案

证明 $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$

我们将右侧展开相乘，可以得到:

\begin{align*} &(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx) \ &=x(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx) + y(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx) \ &\qquad+ z(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx) \ &=x^{3}+xy^{2}+zx^{2}-x^{2}y-xyz-xz^{2} \ &\qquad+yx^{2}+y^{3}+yz^{2}-y^{2}x-xyz-y^{2}z \ &\qquad+zx^{2}+yz^{2}+z^{3}-zxy-yz^{2}-xz^{2} \ &=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz \end{align*}

因此，我们证明了 $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$。

如果 $a+b+c=0$，那么证明 $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

由于 $a+b+c=0$，我们可以将 $c$ 表示为 $c=-a-b$。

将 $c$ 代入 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 中，可以得到:

\begin{align*} a^{3}+b^{3}+c^{3}&=a^{3}+b^{3}+(-a-b)^{3} \ &=a^{3}+b^{3}-(a+b)^{3} \ &=a^{3}+b^{3}-(a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}) \ &=-3a^{2}b-3ab^{2} \ &=-3ab(a+b) \ &=-3abc \end{align*}

因此，我们证明了如果 $a+b+c=0$，那么 $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$。

结论

本文介绍了《第 10 类 NCERT 解决方案 - 第 2 章多项式 - 练习 2.1》，并给出了题目的解决方案。在解决多项式基本概念的问题时，可以参考本文给出的内容。