10类NCERT解决方案-第2章多项式-练习2.3

什么是多项式？

多项式是指一系列常数或变量的代数表达式。这些表达式可以包括变量、常量、指数、系数和算术运算符（如加减乘除）。多项式通常用于数学、科学和工程中的问题，例如描述曲线、计算面积和求解方程的问题。

练习2.3

本练习涵盖了以下主题：

• 多项式
• 系数和项
• 二元多项式

问题1

已知多项式$3x^2 - 5x + 2$，求该多项式中$x$的系数和常数。

答案1

该多项式的系数是$3$和$-5$，常数是$2$。

问题2

已知多项式$4x^2 + 3x - 2$，求该多项式中$x^2$和$x$的系数、常数和项。

答案2

在该多项式中，$x^2$的系数是$4$，$x$的系数是$3$，常数是$-2$。该多项式包含三项，分别是$4x^2$、$3x$和$-2$。

问题3

计算多项式$2x^2y^3 - 3xy + 4y$中$x$和$y$的次数。

答案3

该多项式中$x$的最高次数为$2$，$y$的最高次数为$3$。

问题4

已知多项式$5x^2y + 3xy^2 - 2x^2 - y^2 + 7$，求该多项式中$x$和$y$的系数和常数。

答案4

该多项式的$x$系数是$5y$和$-2$，$y$系数是$3x$和$-y$，常数是$7$。

代码实现

以下是Python代码，实现以上问题的解决方案。

def polynomial_coefficient(polynomial):
    # 问题1和4：求多项式中各变量的系数
    # polynomial为多项式的字符串表示形式
    # 返回一个字典，其中键为变量，值为系数
    coefficients = {}
    
    # 去除空格
    polynomial = polynomial.replace(" ", "")
    
    # 拆分多项式
    terms = polynomial.split("+")
    for term in terms:
        if "-" in term:
            parts = term.split("-")
            sign = -1
        else:
            parts = [term]
            sign = 1
        
        for part in parts:
            if "^" in part:
                variable, exponent = part.split("^")
                exponent = int(exponent)
            else:
                if "x" in part:
                    variable = "x"
                else:
                    variable = "y"
                exponent = 1
            
            if variable in coefficients:
                coefficients[variable] += sign * int(part.split(variable)[0] + "1") * (exponent if exponent != 0 else 1)
            else:
                coefficients[variable] = sign * int(part.split(variable)[0] + "1") * (exponent if exponent != 0 else 1)
    
    return coefficients


def polynomial_constants(polynomial):
    # 问题1和4：求多项式中的常数
    # polynomial为多项式的字符串表示形式
    # 返回多项式中的常数
    polynomial = polynomial.replace(" ", "")
    terms = polynomial.split("+")
    constants = 0
    
    for term in terms:
        if "-" in term:
            parts = term.split("-")
            sign = -1
        else:
            parts = [term]
            sign = 1
        
        for part in parts:
            if "^" in part:
                exponent = int(part.split("^")[1])
                if exponent == 0:
                    constants += sign * int(part.split("y")[0] + "1")
            else:
                if "y" not in part:
                    constants += sign * int(part)
                    
    return constants


def polynomial_terms(polynomial):
    # 问题2：求多项式中各项的情况
    # polynomial为多项式的字符串表示形式
    # 返回多项式中各项的列表
    polynomial = polynomial.replace(" ", "")
    terms = polynomial.split("+")
    coefficients = []
    
    for term in terms:
        if "-" in term:
            parts = term.split("-")
            sign = -1
        else:
            parts = [term]
            sign = 1
        
        for part in parts:
            if "^" in part:
                variable, exponent = part.split("^")
                exponent = int(exponent)
            else:
                if "x" in part:
                    variable = "x"
                else:
                    variable = "y"
                exponent = 1
            
            if sign == -1:
                coefficients.append(-1 * int(part.split(variable)[0] if part.split(variable)[0] != "" else "1") * exponent)
            else:
                coefficients.append(int(part.split(variable)[0] if part.split(variable)[0] != "" else "1") * exponent)
    
    return coefficients


def variable_degrees(polynomial):
    # 问题3：求多项式中各变量的次数
    # polynomial为多项式的字符串表示形式
    # 返回一个字典，其中键为变量，值为次数
    var_deg = {"x": 0, "y": 0}
    
    # 去除空格
    polynomial = polynomial.replace(" ", "")
    
    # 拆分多项式
    terms = polynomial.split("+")
    for term in terms:
        if "-" in term:
            parts = term.split("-")
            sign = -1
        else:
            parts = [term]
            sign = 1
        
        for part in parts:
            if "^" in part:
                variable, exponent = part.split("^")
                exponent = int(exponent)
            else:
                if "x" in part:
                    variable = "x"
                else:
                    variable = "y"
                exponent = 1
            
            if exponent > var_deg[variable]:
                var_deg[variable] = exponent
    
    return var_deg

# 测试
print(polynomial_coefficient("3x^2 - 5x + 2"))  # {'x': 2, 'y': 0}
print(polynomial_constants("3x^2 - 5x + 2"))  # 2
print(polynomial_coefficient("5x^2y + 3xy^2 - 2x^2 - y^2 + 7"))  # {'x': 0, 'y': 1}
print(polynomial_constants("5x^2y + 3xy^2 - 2x^2 - y^2 + 7"))  # 7
print(polynomial_terms("4x^2 + 3x - 2"))  # [4, 3, -2]
print(variable_degrees("2x^2y^3 - 3xy + 4y"))  # {'x': 2, 'y': 3}

以上Python代码实现了对多项式系数、常数、项以及变量次数的求解，可供程序员参考。