题目介绍

本题为门(GATE)计算机科学(CS) 2005 年的真题，题号为第 49 题。该题考查编程基础，要求求出一个从 1 到 n 的整数序列的全部子序列中的所有可能的逆序对个数。

本题的考点包括递归、分治算法、动态规划等。

解题思路

寻找所有可能的逆序对，可以通过逐一列举所有子序列，并判断该子序列是否满足逆序对的条件来实现。这个过程可以通过递归或迭代的方式实现。具体来说，可以先找出所有以第一个元素为起点的子序列，然后递归地对剩余的元素再次调用该函数，直到子序列中只剩下一个元素。这样就能够找到所有的子序列，并可以通过判断来计算逆序对的个数。

对于一个长度为 n 的子序列，其逆序对个数可以通过以下动态规划公式计算得出：

dp = [0] * n
for i in range(1, n):
    for j in range(i):
        if arr[j] > arr[i]:
            dp[i] += 1 + dp[j]

其中，arr为原始序列，dp为动态规划数组，记录了当前位置的逆序对个数。具体来说，对于一个元素 arr[i]，它的逆序对个数可以由前面所有元素中比它大的元素，在每个元素的逆序对个数上都加上 1 得来。这样，最终 dp[-1] 就是所有逆序对的个数。

代码实现

def count_inversions(arr):
    n = len(arr)
    if n == 1:
        return 0

    mid = n // 2
    left_arr = arr[:mid]
    right_arr = arr[mid:]

    left_count = count_inversions(left_arr)
    right_count = count_inversions(right_arr)
    count = 0
    i, j, k = 0, 0, 0

    while i < len(left_arr) and j < len(right_arr):
        if left_arr[i] <= right_arr[j]:
            arr[k] = left_arr[i]
            i += 1
        else:
            arr[k] = right_arr[j]
            j += 1
            count += mid - i

        k += 1

    while i < len(left_arr):
        arr[k] = left_arr[i]
        i += 1
        k += 1

    while j < len(right_arr):
        arr[k] = right_arr[j]
        j += 1
        k += 1

    return count + left_count + right_count

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
count = count_inversions(arr)
print(count)

在该实现中，count_inversions 函数是一个递归函数，其主要功能是将原始序列分成两部分，然后对左半部分和右半部分进行递归调用。每次递归调用都可以计算出左半部分和右半部分中的逆序对个数，并将其相加得到当前序列中的逆序对个数。此外，count_inversions 还会将左半部分和右半部分都按照从小到大的顺序排序，并将它们合并成一个有序的序列。