问题 14

本题将讨论图论中的最小生成树算法。

什么是最小生成树？

最小生成树 (Minimum Spanning Tree, MST) 是一棵无向图的生成树，即所有节点都可以通过树边连接而互相到达。其中边的权值和最小。

下图展示了一个带权无向图及其最小生成树：

最小生成树的算法

目前常用的两种算法是Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法

Prim算法是一种加点法，算法初始将任一节点加入生成树，接着从与树相邻的边选取一个最小的加入生成树。然后再从与生成树相邻的边中选取一个最小的加入生成树。重复这个过程，直到所有节点都在生成树中。

Prim算法的时间复杂度是 $O(E log V)$。

Kruskal算法

Kruskal算法是一种加边法，算法开始没有任何边，将所有边按权值从小到大排序，每次选择一条没被选择过的最小边，加入生成树中。重复这个过程，直到所有节点都在生成树中。

Kruskal算法的时间复杂度也是 $O(E log V)$。

代码实现

以下是使用Python实现Prim算法的代码片段：

def prim(graph):
    """
    给定一个邻接矩阵表示的图graph，返回最小生成树的总权重。
    """
    n = len(graph)
    # 任选一个点作为起始点
    start = 0
    # 记录已经加入最小生成树的顶点
    visited = [start]
    # 记录已经加入最小生成树的边
    edges = []
    # 初始化最小生成树的总权重
    total_weight = 0

    # 当所有顶点都被加入最小生成树时结束循环
    while len(visited) < n:
        # 找出与当前节点相邻的边中，权重最小的一条
        min_weight = float('inf')
        min_edge = None
        for src in visited:
            for dest in range(n):
                if dest not in visited and graph[src][dest] < min_weight:
                    min_weight = graph[src][dest]
                    min_edge = (src, dest, min_weight)
        # 将这条边加入结果中
        edges.append(min_edge)
        # 将该顶点加入 visited
        visited.append(min_edge[1])
        # 更新最小生成树的总权重
        total_weight += min_weight

    return total_weight

以上是使用Python实现Kruskal算法的代码片段：

class UnionFind:
    """
    并查集，用于维护已有的联通分量。提供了合并与查找两个操作。
    """

    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        fx, fy = self.find(x), self.find(y)
        if fx == fy:
            return False

        if self.rank[fx] < self.rank[fy]:
            self.parent[fx] = fy
        elif self.rank[fy] < self.rank[fx]:
            self.parent[fy] = fx
        else:
            self.parent[fy] = fx
            self.rank[fx] += 1
        return True

def kruskal(graph):
    """
    给定一个邻接矩阵表示的图graph，返回最小生成树的总权重。
    """
    n = len(graph)
    # 将所有边按权值从小到大排序
    edges = sorted([(graph[i][j], i, j) for i in range(n) for j in range(i+1, n)])
    # 初始化并查集
    uf = UnionFind(n)

    # 依次加入最小的边
    total_weight = 0
    for weight, src, dest in edges:
        if uf.union(src, dest):
            total_weight += weight
    return total_weight

总结

最小生成树是图论中经典的问题之一，Prim算法和Kruskal算法是两种经典的最小生成树算法。无论是使用哪种算法，最好都在实现前画一下图，手动模拟一遍流程，以便更好地理解和实现。