门| GATE-CS-2007 |问题14

这个问题是GATE计算机科学考试2007年的题目之一，主要考察编程能力和算法思维。以下是问题的具体描述：

给定一个大小为n的有序数组A[1..n]和一个值x，设计一个算法来检查x是否出现在A中。该算法应该具有O(logn)的时间复杂度。

考虑这个问题并非难度很大，但需要一定的数据结构和算法基础。针对这个问题，可以使用二分查找算法来解决。

二分查找算法

二分查找是一种基于比较目标值与数组中间元素的算法。每次缩小搜索范围直到找到目标值为止。具体方法是，对于一个有序数组A，首先选定中间位置的索引mid，然后将目标值x与mid位置上的元素进行比较。

• 如果x等于mid位置上的元素，则找到了目标值；
• 如果x小于mid位置上的元素，则在左半部分继续查找；
• 如果x大于mid位置上的元素，则在右半部分继续查找。

这样每次查找区间的长度就减半，直到找到目标值或者区间的长度为0。

解法

基于以上分析，对于这个问题的解法如下：

• 初始时，将搜索区间设置为整个数组A[1..n]。
• 然后，在每一次迭代中，算出中间位置索引mid=(l+r)/2，其中l是搜索区间左端点，r是搜索区间右端点。
• 进行一次比较操作A[mid]与x：
  • 如果A[mid]为x，则返回“是找到目标值”；
  • 如果A[mid]小于x，则将搜索区间缩小到[mid+1,r]，进行下一次迭代；
  • 如果A[mid]大于x，则将搜索区间缩小到[l,mid-1]，进行下一次迭代。
• 如果找到目标值，算法迭代结束，返回“是找到目标值”；否则，若搜索区间为空，则无法找到目标值，算法返回“未能找到目标值”。

注意，上文的算法实现要求A中的元素必须是有序的。对于一般的、无序的情况，需要使用其他的算法。还需注意，当搜索区间的长度为奇数时，通过 mid=(l+r)/2 得到的中间索引与搜索区间左端点比较靠右；当搜索区间的长度为偶数时，得到的中间索引比较靠左。

代码实现

下面是一个简单的Python程序来实现二分查找算法。代码说明已经包括在内部：

def binary_search(arr, x):
    """
    在arr中二分查找x
    return True：如果找到x
           False：如果未找到x
    """
    l, r = 0, len(arr) - 1  # 初始化搜索区间
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2  # 计算中间位置索引
        if arr[mid] == x:
            return True  # 找到目标值
        elif arr[mid] < x:
            l = mid + 1  # 缩小搜索区间到[mid+1,r]
        else:
            r = mid - 1  # 缩小搜索区间到[l,mid-1]
    return False  # 没有找到目标值

代码中实现的函数 binary_search 接受两个参数，一个有序数组 arr，一个需要查找的目标值 x。如果找到了目标值，返回 True；否则返回 False。

需要注意的是，上述代码只是二分查找算法的一种实现。具体的实现方式会受到编程工具（如编程语言）和应用场景等因素的影响，也有很多的变种。