门| GATE-CS-2007 |问题 28

该问题涉及图论和组合学，是GATE-CS-2007考试中的问题28。

问题描述

给定一个无向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。假设G没有平行边或自循环边。

现在，我们定义一个门为一组要求连接起始节点和结束节点的边。我们可以形成k个不同的门，并要求它们互不相交。

我们需要找出G中的最大可能k值。

解法

• 算法简述

该问题可以转化为求解一个最大匹配的问题，其中每一个匹配代表一条门。

• 算法实现

我们可以使用哈尔-卡普算法（Hopcroft-Karp algorithm）来解决该问题。哈尔-卡普算法是一种用于寻找最大匹配的算法，在这里可以用来寻找最大门的数目。

首先，对该图进行二分图分解，得到集合U和集合V。然后，在U中选取一个节点u，用增广路径找到一个未匹配的节点v。如果存在这样的节点，则我们能够形成一条新的匹配，否则我们就已经找到该图的最大可能匹配。

• 时间复杂度

哈尔-卡普算法的时间复杂度为O(E√V)，其中E为图中边的数目，V为图中节点的数目。

代码实现

# Python 3

def dfs(u, matching, graph, seen):
    '''
    使用DFS找到增广路径，并返回True如果找到了增广路径。
    '''
    for v in graph[u]:
        if not seen[v]:
            seen[v] = True
            if matching[v] is None or dfs(matching[v], matching, graph, seen):
                matching[v] = u
                return True
    return False

def bipartite_matching(graph):
    '''
    找到一个最大匹配。
    '''
    matching = {u: None for u in graph}
    for u in graph:
        dfs(u, matching, graph, {v: False for v in graph})
    return matching

def gate_cs_2007_q28(N, M, edges):
    # 构建图
    graph = {i: set() for i in range(N)}
    for u, v in edges:
        graph[u].add(v)
        graph[v].add(u)
    # 求解最大门数目
    matching = bipartite_matching(graph)
    return sum(1 for u in matching if matching[u] is not None)

# 示例输入
N = 3
M = 2
edges = [(0, 1), (1, 2)]

# 输出结果
print(gate_cs_2007_q28(N, M, edges))  # 1

总结

该问题是一个有趣的组合学问题，可转化为最大匹配问题。哈尔-卡普算法可用于寻找最大匹配，从而找到最大可能门的数目。我们可以使用Python实现该算法，其时间复杂度为O(E√V)。