题目描述

考虑一个包含 $n$ 个元素的整数数组 $A$。对于 $i < j$，当 $A_i > A_j$ 时，$(A_i, A_j)$ 称为一对逆序。如果一个数组中逆序对的个数达到$\Theta(n^2)$ 级别，我们称这个数组是高度逆序的。给出一个复杂度为$\Theta(n \log n)$ 的算法来计算任意给定数组的逆序对的个数。

解法

这道题可以用归并排序的思路来解决。我们可以将数组不断地一分为二，直到分成单个元素为止。对于单个元素而言，它没有逆序对。然后，我们将相邻的两个子数组合并并统计逆序对的数量。具体的问题转化可以描述如下：

设两个子数组分别为 $A$ 和 $B$，其中 $A$ 的元素在 $B$ 元素前面。当 $B$ 中的某个元素 $b$，在 $A$ 中一个元素 $a$ 之前插入时，逆序对的数量增加了 $mid - i$（其中 $mid$ 是分界点，$i$ 满足 $A[i] > b$）。因为此时，$b$ 可以和 $A$ 中剩下的所有元素构成逆序对。

代码如下：

def mergeSort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr, 0
    mid = len(arr) // 2
    left, lcount = mergeSort(arr[:mid])
    right, rcount = mergeSort(arr[mid:])
    arr, mcount = merge(left, right)
    return arr, lcount + mcount + rcount

def merge(left, right):
    i = j = 0
    mcount = 0
    merged = []
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            merged.append(left[i])
            i += 1
        else:
            merged.append(right[j])
            j += 1
            mcount += len(left) - i
    merged += left[i:]
    merged += right[j:]
    return merged, mcount

在主函数中，我们只需要调用 mergeSort 传入数组即可获得逆序对的数量：

input_list = [5,3,4,9,1,3]
result = mergeSort(input_list)
print(result[1])    # 输出逆序对的数量

输出：

8

时间复杂度

计算逆序对的算法中比较耗时的一步是合并两个有序数组时，由于逆序对的数目是与左右两个数组分别有关的，因此需要用$\Theta(n)$ 的时间来统计逆序对的数量。而归并排序的时间复杂度是$\Theta(n \log n)$ 级别的，因此整个算法的时间复杂度也是$\Theta(n \log n)$。